CORDES SUPPLÉMENTAIRES ET RECIPROQUEMENT. LIMITES DE

l’angle DE DEUX DIAMÈTRES CONJUGUÉS.

1«H. Soit

asy! -j- 6’x* = a!6’,

l’équation de l’ellipse rapportée à son centre et à ses axes ; désignons par m et m' les coefficients angulaires de deux diamètres conjugués; par n et n' ceux de deux cordes supplémentaires ; on a :

mm’ = r et nn = : ,

136 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS, d’où

mm' — nn.

Si donc ona m = n,on aura en même temps m' = n' ; on conclut de là que : \° étant donnés deux diamètres conjugués, on peut construire deux cordes supplémentaires qui leur soient parallèles et qui aboutissent aux extrémités d’un diamètre quelconque donné ; 2° étant données deux cordes supplémentaires , on peut construire deux diamètres conjugués qui leur soient parallèles.

Remarque. Il est très -important de remarquer que les équations,

mm = et nn =

continuent d’avoir lieu lorsque l’ellipse, o’y’ -f- b'x* = a'b* ,

est rapportée à deux diamètres conjugués quelconques 2 a et 2 b ; on s’en assurera en répétant textuellement les raisonnements que nous avons faits, et qui n’ont à subir aucune modification.

152. Puisque deux diamètres conjugués sont toujours parallèles à deux cordes supplémentaires, terminées aux extrémités d’un diamètre quelconque, la recherche des limites entre lesquelles peut varier l’angle de deux diamètres conjugués, se ramène à la détermination des limites de l’angle des cordes supplémentaires qui aboutissent aux extrémités du grand axe.

Soit

a*y ’ -j- fc’x5 = a’è* ,

l’équation de l’ellipse rapportée à son centre et à ses axes ;

DE L’ELLIPSE

les coefficients angulaires des cordes, qui joignent un point M(jî, y) de la courbe aux extrémités A' et A du grand axe, V V

sont — 7 — et — - — ; donc, en désignant par V l’angle A'MA, x-\-a x — a

on aura :

tang V =

2ay

ou, en éliminant x par le moyen de l’équation de la courbe ,

Cette formule indique que l’angle V ne peut être aigu, ce que l’on savait d’avance; elle montre aussi que cet angle est droit lorsque le point M est au sommet A; en effet l’une des cordes est alors le grand axe AA et l’autre corde n’est autre que la tangente à l’ellipse en A. Enfin , si le point M se meut sur l’ellipse de A en A', l’angle obtus V va d’abord en augmentant , jusqu’à ce que le point M vienne se placer sur le petit axe; il diminue ensuite jusqu’à 90°, en repassant par les mêmes valeurs. Les cordes supplémentaires, qui font le plus grand angle obtus, sont donc celles qui joignent les extrémités du grand axe à l’une des extrémités du petit. Par conséquent on aura les diamètres conjugués, faisant entre eux l’angle obtus maximum ou l’angle aigu minimum , en menant par le centre deux parallèles aux cordes dont il vient d’être question. 11 est évident que ces diamètres sont les diagonales du rectangle circonscrit à l’ellipse et qui est formé par les tangentes menées aux quatre sommets ; le coef-

ticient angulaire de l’un de ces diamètres est -f- - et celui

de l’autre diamètre .

153. Le théorème démontré au n° 151 permet encore de construire deux diamètres conjugués d’une ellipse, qui fassent entre eux un angle donné. Il suflit, effectivement, pour résoudre le problème, de construire un segment capable de l’angle donné sur un des diamètres de l’ellipse. En joignant les extrémités de ce diamètre à l’un des points où la courbe rencontre le cercle, auquel appartient le segment construit, on aura deux cordes supplémentaires parallèles aux diamètres demandés. La solution s’achève aisément.

IL Y A TOUJOURS DANS UNE ELLIPSE DEUX DIAMETRES CONJUGUES ÉGAUX ENTRE EUX.