TRANS VERSE

160. L’équation du second degré (n° 113) peut être ramenée , dans le cas de l’hyperbole , à la forme :

My\+N**=H,

où x et y désignent des coordonnées rectangulaires. La quantité — 1MN étant ici positive, on voit que M et N sont de signes contraires. Si H = 0, l’équation proposée, représente le système de deux droites passant par l’origine et qui constitue une variété de l’hyperbole, ainsi que nous en avons fait la remarque^ Ce cas étant mis de côté, on peut toujours supposer que H soit de même signe que le coelticient de x', et, par suite, de signe contraire au coefficient de y! ; car on peut , si on le juge à propos, changer les axes de cordonnées l’un dans l’autre. Pour avoir les points oii la courbe coupe l'axe des x , H faut faire y = 0 et il vient :

Nous désignerons

Si l’on cherchait de môme les points d’intersection avec l’axe des y , il faudrait faire *=0 , et l’on trouverait :

a la valeur de

et l’on aura N=— .

mais cette valeur est imaginaire , et il n

tersection. Nous désignerons par b \J —

eh sorte que l’on aura M = — — .

’y a pas de point d’in- 1 la valeur de y/

En remplaçant M et N par les valeurs écrites plus haut , l’équation de la courbe devient :

ou

C’est sous l’une ou l’autre de ces deux formes que nous la considérerons désormais. On en tire :

La valeur de y n’est réelle que si x est compris entre — co et — a, ou entre -f- a et co. Lorsque x croît de -}- a à -j- o> ou décroît de — a à — oo, la valeur absolue de y croît de zéro à l’infini. Si donc on prend sur l’axe des x (fig. 102) 0A = 0A’=o, l'hyperbole sera formée de quatre branches infinies, dont deux partent de A et les autres de A', comme

DE L’HYPEHUOLE.

1 indique la figure. Il est évident que l’origine est le centre, et que les axes de coordonnées sont les axes eux-mêmes de la courbe. L’équation (1) ou (2) représente donc une hyperbole rapportée à son centre et à ses axes. L’axe qui rencontre

la courbe est dit axe transverse , l’autre est appelé axe non transverse. La longueur AA' = 2a est la longueur de l’axe transVerse; si, fen outre, on prend, sur l’axe des ;/ j OB=OB— 6, la ligne BB'=26 est dite la longueur de l’axe non transverse. Les extrémités A- et A' de l’axe transverse sont, n° 110, les sommets de l’hyperbble.

Lorsque les axes 2a et 26 sont égaux entre eux , l’hyperbole est dite équilatère.

169, De l’équation (3) on tire :

or, pour un point M quelconque de l’hyperbole, on a (fig. 102)

y=MP, x + a=±A'P, x — a=±AP, donc :

Â'PxAP a*’

d’où il résulte que : le rapport du carré d'une ordonnée, perpendiculaire d l’axe transverse, au produit des segments cor respondants , formés sur cet axe, est une quantité constante

En d’autres termes : les carrés des ordonnées, perpendiculaires à /’ axe transverse , sont entre eux comme les produits des segments correspondants formés sur cet axe.

On voit que cet énoncé n’est autre chose que la traduction géométrique de l’équation de l’hyperbole.

1 70. Soit r la distance OM (fig- 102) du centre de la courbe au point M dont les coordonnées sont a; et y, on aura : '

et, par suite,

d’où

cela montre que la distance du centre à un point, mobile sur l’hyperbole , est minimum lorsque ce point est placé à l’un des sommets , et que cette distance croît indéfiniment à mesure que le point s’éloigne du sommet

171. On nomme points intérieurs de l’hyperbole les points, situés dans l’espace compris entre les branches infinies qui se réunissent à un même sommet; et points extérieurs les points, non compris dans cet espace et non situés sur la courbe.

Il est bon de remarquer que , pour tout point extérieur à l’hyperbole •

on a : . •

et , pour tout point intérieur : * *

DE I.’HYPERBOLE

Considérons d’abord le cas d’un point M extérieur. Si la valeur absolue de son abscisse est supérieure à a, il existera un point M' de la courbe ayant même abscisse que le point M et une ordonnée moindre en valeur absolue ; si , au contraire, la valeur absolue de l’abscisse du point M est moindre que a, il existent un point M'" de la courbe ayant même ordonnée que le point M et une abscisse plus grande en valeur absolue; or, pour chaque point de la courbe, o*y4 — -a56s est nul;

donc cette quantité est positive pour le point M. Un raisonnement semblable prouve la deuxième partie du théorème énoncé.

foters et directrices; tangente et normale; diamètres; diamètres CONJUGUÉS ET CORDES SUPPLÉMENTAIRES. CE Qu’oN NOMME