L’équation de la courbe, rapportée à ses axes, étant

soient a et 6 les coordonnées d'un foyer et 3 la distance de ce , foyer au point (x, y) de la courbe , on aura :

d’où, en désignant par lx-\-my-\-n la fonction rationnelle qui exprime 6 ,

S)*— (f« + my + n)'=0.-. . '« .

, On voit, comme au n° 132, qu’on doit avoir 1=0 ou m= 0. Si l’on suppose m=0, 3 sera une fonction linéaire de x seul •, l’équation (2) donne alors :

S*=x* — 2awc -f- <xa + y* — +

en remplaçant y par sa valeur tirée de (1), savoir :

y==- Vx! — «* ,

il vient :

8l = x’— 2ax + a’-}- [x- — o*) — 26 ^ y x* — a’-J- 6! ;

puisque 3 doit être rationnelle, il faut à fortiori que S1 le soit, ce qui exige que l’on ait 6 = 0, ç’est-à-dire que les foyers soient situés sur l’axe desx. L’expression de S’ devient alors ':

8* = __L x'—iax + a*— 6* ;

pour que le second membre soit Un carré parfait, il faut et il sutfit que l’on ait :

, DE L’HYPERBOLE. 229

d’où l’on tire: - >

a,=as-f-t! et. a = db y/a* -J- bK

Cette valeur de a est toujours réelle; ce qui montre qu’il existe toujours deux foyers, situés sur l’axe transverse à une distance du centre égale à ya*-j- 6V En supposant /=0, On trouverait, par un calcul identique au précédent ,

2 = 0 et 6 = ±y' — a! — 6*;

cette valeur de 6 est imaginaire; par conséquent, l’hyperbole n’a que les deux foyers, situés sur l’axe transverse à une distance du centre égale à y' a1 + 6* , et dont on a précédemment démontré l’existence'. ,•

Si l’on élève sur l’axe transverse, au sommet A, la perpendiculaire AL égale à la moitié de l’axe non transverse, la distance OL sera égale à yV-f 63 et la circonférence, décrite du centre O avec un rayon égal à OL , rencontrera l’axe transverse en deux points F et F' qui seront les foyers de l’hyperbole. La longueur -2c est désignée sous le nom de dis-

tance focale ; le rapport - de la distance focale à l’axe trans-

verse ést l’excentricité do l’hÿperbole.

174. Remplaçant snccessivement a par .+c et par — c dans l’expression de £! et désignant par F et F1 les fçyers de l’hyperbole, on aura (fig. 103);

FM* — , -

d'où Pon tire :