F'P<F'M+PM

retranchant FP de part et d’autre , puis observant que F'M — FMs=2a, il viendra : ; ,

.• FP — FP <2a ; * . <

dans le second cas, le triangle FP'M donnera :

. . FP .<FiT+MP';

retranchant de F'P' les deux membres de cette inégalité, on aurq: * . V. .

FF— FF > 2a.

Remarque. On a supposé les points P et F placés à droite

de l’axe non transverse; s’ils étaient situés à gauche de cet ■

axé, il faudrait prendre les différences des rayons vecteurs en sens contraire. . . '• . • .

173. La propriété démontrée au n° 174 fournit un moyen très-simple de construire par points une hyperbole dont on connaît l’axe transverse et les foyers. •> .

.' Soient en effet F et F' (fig. 103) les foyers et 2 a la longueur donnée de l’axe transverse ; joignant F'F, et prenant,, à partir du point O milieu de oette droite, OA=OA'=a, •les points A et A' seront les sommets de l’hyperbole. En outre, comme la différence des distances d’un même point de la courbe aux deux foyers est égale à A'Â, on voit que si l’une de ces distances est AC , l’autre sera A'C. Si donc on prend-, sur l’axe transverse, un point G quelconque, mais non situé , entre F' et F* puis que l’on décrive, des foyers F et F' comme centres, deux circonférences qui aient respectivement AC et A'C pour rayons, les points d’intersection M et

■ M' appartiendront à l’hyperbole. Les deux circonférences,

dont nous payions, se couperont toujours;. car il est évident que la distance des centres F'F est moindre que la somme des rayons et que chaque rayon est moindre .que la somme de là distance des centrés et de l’autre rayon. En, donnant au point C diverses positions sur le prolongementde F'F, on pourra construire, comme il vient d’être indiqné, autant jdo points qu’on voudra de l’hyperbole. Quand on connaîtra ainsi des points assez nombreux et assez- rapprochés les uns des autres, on les joindra par un trait continu , et une portion de. l’hyperbole sera tracée par points. - .

■ La même propriété permet de tracer l’hyperbole par um mouvement continu. Si, en effet,, après avoir marqué les » foyers F et F', on fixe au foyer F' Ope règle F'M qui puisse

'tourner autour do ce point ; qu’on attache au point M et à. l'autre foyer F les extrémités d’un fil MF d'une longueur telle

DE L’HYPERBOLE

que F'M — FM=2a; puis qu’on tende le fil, en appliquant une portion contre la règle , au moyen d’un style muni d’un crayon ou d’un tire-ligne ; il est clair qu’en faisant glisser le style le long de la règle , l’hyperbole se trouvera décrite par le .'crayon ou le tire-ligne.

Directrices.