OC * CL

L’équation du rayon vecteur MF' se déduit de celle de MF en changeant c en — c,- d’oii il suit que la distanco du point

T à MF’ a aussi pour valeur Ori voit, par ce qui précède , que le point T est également distant des deux rayons vecteurs; il est ciair que ce point est situé dans l’angle des ■ rayons vecteurs , donc il appartient à la .droite qui divise cet angle en deux parties égales; donc la tangente divise en deux parties égales l’angle des rayons vecteurs menés des foyers au point de contact et il en résulte que la normale divise en deux parties égales l’angle formé par l’un de ces rayons avec le prolongement de Vautre. ' . < , ■ .

Le théorème que nous venons d’établir donne un moyen de mener une tangente à l’hyperbole : 1° par un point pris sur la courbe; 2° par un point extérieur; ü° parallèlement à une droite donnée.

179. Supposons d’abord qu’il s’agisse de mener la tangente en un point M d’une hyperbole (fig. 106). Tirons les rayons vecteurs MF et MF' ; prenons sur le plus grand, MF' et à partir du point M une- longueur MK— MF, tirons KF et abaissons du point M la' perpendiculaire MIT sur KF , cette perpendiculaire sera h» tangente demandée.

-En effet, le triangle MKF. étant isocèle , la perpendiculaire abaissée du sommet sur la base partage l’angle KMFen deux parties égales; on a donc KMT = TMF ; donc MT est tangente. , . . .

Remarque Si l’on joint le centre O milieu de FF au point I

ex

■Xr..

DE L’HYPERBOLE

tjui est le milieu de KF, la droite 01 sera parallèle à FK et égale à la moitié deF'K, c’est-à-dire à a. 11 résulte de là que la distance du centre de l’hyperbole aux pieds des perpendiculaires, abaissées d’un foyer sur tes tangentes, est constante et égale au demi-axe transver st ,• ou, en d’autres termes, le lieu géométrique des pieds des perpendiculaires, abaissées des foyers d'une hyperbole sur les tangentes , est la circonférence décrite sur l’axe transverse comme diamètre.

‘180. Proposons-nous maintenant de mener une tangente

à l’hyperbole par un point H extérieur à la courbe (fig. 406).

Supposons pour un moment le problème résolu ; soit HMT la tangente' demandée et M le point de çontact. Tirons les rayons vecteurs MF et MF' et prenons sur le plus grand MF', à partir du point M, MK=MF ; fl'g- 106. tirons ensuite KF , HK et HF.

La tangente HMT , divisant en deux parties égales l’angle au sommet du triangle isocèle KM F , cette ligne sera perpendiculaire à KF et passera par le milieu I de KF ; on aura, par suite, HK = HF ç d’ailleurs FK— 2a; donc le point K peut être déterminé par l’intersection . de deux circonférences, l’une décrite du foyer F comme centre avec le rayon 2a, l’autre décrite du- point donné H comme centre avec. le rayon I1F. Le point K étant connu, oh le joindra au foyer F, et l’on abaissera du point H la perpendiculaire III sur KF ; cette perpendiculaire sera la tangente demandée , et le point M, où elle. rencontre F'K prolongée, sera le point de contact. En effet, on a, par construction , 11K=HF ; donc Hl est perpendiculaire sur le milieu de KF ; donc MK = MF et par

coiiséquent MF' — MF=2a, ce qui prouve déjà que le point M est sur l’hfperbole. En second lieu, l’angle FMI = IMF ; donc HM est tangente.

Nous avons vu que le point K est déterminé par l’intersection de deux circonférences ; or deux circonférences se' rencontrent généralement en deux points, il y* a donc deux solutions et, parle point donné T, on peut mener deux tangentes à l'hyperbole;. il est facile , en effet, dé démontrer que les deux circonférences , décrites des points F' et H comme, centres gvec des rayons égaux respectivement à 2a et à HF, se rencontrent toujours en deux points, si, comme nous le supposons, le point H est extérieur à l’hyperbole. • Joignons F'H; le point H étant extérieur à l’hyperbole, supposons FH > FH , on a (n° f 7.4) F H — FH < 2a , d’où l’on tire F'H <; 2a -f FH ; on a d’ailleurs, dans le triangle HFF, FF' < F'H Fl J ; donc on aura toujours 2a < F'H -f- FH.

Cela prouve que. nos deux circonférences se rencontrent toujours en deux points, car ia distance des centrés est moindre que la somme des rayons, et chaque rayon est moindre que la somme de. l’autre rayon et de la dislance dés centres.

Si le point H était sur l’hyperbole, on aurait F'H— FH=2a; ou FH = 2a-(-FH; alors la distance des centres serait égale à la somme dés rayons , et les deux circonférences se toucheraient extérieurement. Dans ce cas, il n’y a plus qu’une seule tangente' et Ton retombe sur la construction donnée précédemment. . . .. .

Si le point H était intérieur à l’hyperbole , on aurait F'H — FH>2«, ou Fdl> Sa-f-FlI, alors la distance- des centres serait plus grande que la somme des rayons ; les deux . circonférences seraient extérieures l’une à l’autre, et il n’y aurait plus dé tangente. ’’