La propriété démontrée au n° 178 fournit encore un

DE L’HYPERBOLE

Rg- 107.

moyen trè^-simple de^aener à l’hyperbole une tangente parallèle à une droite flonnée, Soient F et F' les foyers de l’hyperbole (tig. 107 ) et CD la droite à laquelle la tangente doit être parallèle.

Si le problème était résolu, et que IT fût la tangente demandée, et M le point de contact, en joignant F M et prenant sur cette direction F'K.==2a, la ligne FK serait perpendiculaire sur 1T et par suite sur CD. Il résulte de là que le point K peut êtrt^déterminé par l’intersection de la perpendiculaire, abaissée de F sur CD, avec la circonférence de rayon 2a et décrite dii point F' comme centre. Le point K étant connu; on lé joindra au point F, et pqr le milieu I de FK on mènera IT parallèle à CD ; cette parallèle sera la tangente demandée et le point M, où elle rencontrera F’K prolongée , sera le point de contact. En effet joignons MF ; la droite IT étant perpendiculaire sur le milieu de KF par construction , on a KM = MF, donc FM FM = 2a ; ce qui prouve déjà que Iç point M 'est sur l'hyperbole. En second lieu.; l'angle FMI = IMF ; donc 'IT est tangente.

Le point K est déterminé par l’intersection d’une droite, et d’une circonférence , lesquels se coupent généralement en deux points ; il est-facile de voir que si la droite CD fait avec l’axe transverse un angle plus grand que Célui dont la

tangente est -f- - oû un angle moindre que celui dont la tan-

gente est , la droite et la circonférence se rencontrent en

deux points et on peut mener deux tangentes parallèles à la droite donnée; si la droite CD fait avec l’axe transverse lui

angle ayant pour tangente zfc la droite CD touche la circonférence et on ne peut mener qu’une seule tangente à l’hyperbole; enfin si l’angle, que la droite CD fait avec l’axe

transverse, est moindre que l’angle dont la tangente est ^

ou plus grand que celui dont la tangerite est — - , la droite

CD et la circonférence ne se rencontrent pas et on ne peut mener aucunp tangente.

Remarque. La construction de la tangente, dans leS trois cas que nous venons d’examiner, ne suppose pas que la courbe soit tracée ; il suffit de connaître les foyers et la longueur de l’axe transverse.

Équation de la tangente menée parallèlement à une droite donnée.