Les diamètres de l’hyperbole

(1) . aV — 6V=— d*bV

DE L’HYPERBOLE. ; . ' 245

sont dits transverses ou non transverses , suivant qu’ils ren contrent ou ne rencontrent pas l’hyperbole.

Soit - , ■ ' ■

(2) y = mx,~

l’équation d’un diamètre ; on trouve., pour les coordonnées des points communs avec l’hyperbole , " , •

y b- — a m' ■ y o! — a*nr

Ces valeurs sont réelles si m* est moindre que -r, c’est-à-

* Qr -

dire, si m est compris entre — - - et + -. Le diamètre est

donc transverse dans ce cas, il est non transverse dans le cas contraire. Supposons qu’il s’agisse d’un diamètre non transverse, et changeons le signe de la quantité qui est sous le „ radical dans les valeurs de x et de y il viendra :

. ... . , / O'i' ■ . . / aV

(4> *=±Vïw^’ ..»=±”*VS?=r. .

Les deux points représentés par ces équations sont situés sur le diamètre que nous considérons et à égale distance du centre : on les nomme les extrémités du diamètre non transverse, bien qu’ils ne soient pas situés sur la courbe, et leur distance est dite la longueur du diamètre.

Si l’on élève au carré les équations (3) au (4) 'et qu’on ajoute ensuite, on aura le carré de la demi-longueur d’un diamètre transverse ou non trânsverse, dont le coefficient angulaire est ni. On trouve ainsi, pour le carré d’un demi - diamètre

240 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS, a’ir*

•transverse (! -f-ni’) n : , et pour le carré d’un detni-

' 6* — am ’

diamètre non transverse ( 1 -f- m4) — — - — — .

am * — b-

On peut trouver aisément la ligne formée par les extrémités des diamètres non transverses. L’équation de cette ligne s’obtiendra évidemment en éliminant m .entre les équations (4); or les équations (!) se déduisent des équations (3) , en changeant o’ en — a! et è* en — b* ; d’ailleurs l’élimination de m entre celles-ci (conduirait à la proposée (l) ; donc l’équation de la ligne, que nous cherchons, peut se déduire immédiatement de, l’équation (1), on faisant le simple changement de a * en — a- et de 6! en — b*; on obtient ainsi:

(5)' ... a’y* — bxx' — a’fc’. . ..

Cette équation représente une hyperbole. Chacune des hyperboles (1) et (5) a pour-axe transverse le non transverse de l’antre ; on peut même ajouter que tous les diamètres non transverses de l’une sont les diamètres transverses -de l’autre. Ces deux hyperboles sont dites conjuguées.

, Remarque. Deux diamètres conjugués de l'hyperhoie sont toujours, l’un transverse et l’autre non transverse; car la rela- . b* . . •

tion j, qui existé entre m et m , montre que la va-

leur absolue de l’un de ces coefficients est toujours moindre que ^ et l'autre plus gronde; sauf le cas de m = m' = - , que nous avons déjà mentionné. *

ilttt. On nomrfie cordes supplémentaires de l’hyperhoie.

DE L’HYPERBOLE

\ji*

Dr

deux cordes MD et MD' (fîg. 108), qui joignent un pqint quelconque de la courbe aux extrémités d’un diamètre transverse. On démontre identiquement, commepour l’ellipse , que deux cordes supplémentaires sont ton- • jours parallèles à deux diamètres conjugués. Cette propriété conduit aussi aux • fl,j. ,0s. mômes conséquences; elle

permet, en particulier, de mener une tangente à l’hyperbolepar un point donné de, la courbe , ou parallèlement à upo droite donnée: mais, la construction étant identique avec'celle qüe nous avons développée dans la théorie de l’ellipse, nous ne, croyons pas devoir nous y arrêter. • .

La considération des cordes supplémentaires donne aussi un moyen do construire deux diamètres conjugués d’une hyperbole qui fassent entre eux ton angle donné; enfin elle permet de trouver les limites de l’angle de deux diamètres conjugués; dans l’hyperbole, l’angle aigu de deux cordes supplémentaires peut varier de zéro à 90°.

De l’hyperbole rapportée à ses diamètres conjugués.

189. On peut obtenir les résultats qui précèdent? en cherchant tous les Systèmes d'axes, pour lesquels l’équation de l’hyperbole ne renferme ni rectangle ni termes du premier degré. Soit ' ' ’. 1

(1) Vy*— 6»i?s=— a'b',

l’équation de l’hyperbole rapportée à ses «xcs. Kemplaçant xt

par rrcosct-f-ycosa', y par irsina+ysina'; posant en outre:

(2) tanga tanga‘= — ,

a’ si n’a— ô’cbs’a’

l’éqaation de la courbe devient :

o’sin’a— 6? cos’a'

ou

a'-y — b'txt= — a'*6'’.

L’équation (2) est nécessaire pour l’évanouissement du rectangle; elle exprime alors la relation entre les coefficients angulaires de deux diamètres conjugués ; les valeurs de a’’ ét b ’’ sont positives, si l’ob suppose que tanga soit compris b b

entré et -j— — ; alors le diamètre, pris pour nouvel axe

des x, est transverse et son conjugué non transverse. Il est évident que la longueur 2fc' est bien ce que nous avons nommé la longueurdu dikpiètre non transverse, dirigé ici suivant le nouvel axe des y. Par un. calcul semblable à celui que nous avons fait nu sujet de l’ellipse , on déduit des équations (2} et (3) : ,

a'6'sin(a' — a) ab-; ■

Ces équations expriment que :

1” l,é parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués est équivalent au rectangle construit sur les axes ;

2° La différence entre lé carré d’un diamètre transverse, et le carré de son conjugué est égale à la différence entée te carréde l’axe transverse et le carré de l’axe non transverse.

Cette dernière propriété montre que deux diamètres conjugués rte sont jamais égaux dans l’hyperbole. U n’y a

DE l/HYPERBOLE.

d’exception que pour l’hyperbole équilatère; les axes de celle-ci étant égaux entre eux, deux diamètres conjugués quelconques le sont aussi.

ASYMPTOTES DE É’hYPERBOLE. LES ASYMPTOTES COÏNCIDENT AVEC LES

DIAGONALES DU PARALLÉLOGRAMME FORME SCR DEUX DIAMÈTRES CONJUGUÉS QUELCONQUES. — LES PORTIONS t’uNE SÉCANTE OU d’uNE TANGENTE, COMPRISES ENTRE L’HYPERBOLE ET SES ASYMPTOTES,