Soit

l’équation d’une hyperbole , rapportée à deux diamètres conjugués qùelconques 2a et 2 b-, on en tire : ’

• (2) y = zh- yV* — aK '

D’après la théorie générale, exposée (n° 123), en aura les asymptotes de la courbe, en extrayant la racine carrée de la quantité a;’ — a* , qui .est sous le radical de l’équation (2), sans avoir égard au reste de l’opération , et en remplaçant ensuite, dans l’équation, ce même radical parla racine obtenue. Cette racine est x ; les deux asymptotes sont donc données par l’équation ' , • ■ .

On peut démontrer ce résultat, à posteriori, de la manière la plus simple; désignons en effet par y et y' les ordonnées de deux points, correspondant à une même abscisse x; et appnr-

tenant l’un à l’hyperbole, l’autre à l'une quelconque des droites représentées par l’équation (3) ; on aura :

on voit que si y et y’ sont de mêmes signes, comme on peut le supposer, la différence y' — y sera nulle pour #=±00, car alors y et y' sont tous ' deux infinis. Il- s’ensuit que les droites (3) sont bien asymptotes de l’hyperbole.

La première des équations (3) est satisfaite en posant ïf±«, y = dzb; la seconde est satisfaite en posant -r = rba, y — zp b ; on en déduit que Les asymptotes de l'hyperbole coïncident avec les diagonales du parallélogramme. construit sur deux diamètres conjugués.

Remarque. Dans l’hyperbole équilatère, les équations dès asymptotes sont : ... ' . . . ..

d’où > il résulte que • . ,

Les asymptotes de l’hyperbole équilatère divisent en parties égales les angles formés par deux diamètres conjugués; et, par conséquent, ces asymptotes sont perpendiculaires entre elles.

191. Soit MM' une corde de l’hyperbole (fig. 109); prenons pour axe des y le diamètre parallèle à cette corde, et pour axe des x le diamètre conjugué; l’équatjon de l’hyperbole sera, eh désignant par 2a et 26 les longûeurs des deux diamètres, • ' '*

DE L’HYPERBOLE

d’où l’on tire:

et les équations des asymptotes seront

On a alors évidemment ;

MP=?MP et NP = N’P;

d’où l’on déduit , par soustraction ,

MN = afN’ ;

ce qui prouve que

Les portiohs d’une sécante quelconque, comprises entre L’hyperbole et ses asymptotes , sont égales entre elles.

Remarque I. La propriété que nous venons - d’établir a

évidemment lieu si la corde, interceptée par l’Jiyperbole ;sur la sécante , se réduit à * zéro, auquel cas' la sécante x devient' tangente. On peut, au surplus, donner, pour ce cas, une démonstration di-, recte que le lecteur trouvera aisément lui -même.

Remarque II. Ce qui précède fournit lè moyen de mener une tangente à l’hypèrbole par un. point pris sur la courbe; il suffit, en effet, pour résoudre cette question , , de mener par le point une

droite telle que la portion de cette droite, comprise entre les asymptotes, soit divisée, par ce point, en deux parties égales.

LE RECTANGLE DES PARTIES If’üNE SECANTE, COMPRISES ENTRE CN POINT DE LA COURBE ET LES ASYMPTOTES , EST EGAL AU CARRE DE LA MOITIÉ DU DIAMÈTRE AUQUEL LA SECANTE EST. PARALLÈLE.

192. Soient MM' {Kg. 1 09) une sédfcnte d’une hyperbole; N et N' les points où cette sécante rencontre les asymptotes; 2a et 26 los longueurs des diamètres conjugués, dont l’un est parallèle à MM'. L’équation de l’hyperbole sera

(lj a’//’ — b'.r' — — a*b* , • .

et celle des asymptotes,

en désignant par X et Y les coordonnées des asymptotes. On tire de ces équations - . v

* !/*.= — fa* — a') ,

Si l’on suppose a; = X = 0P, on aura:-

: . .Y*-ÿ*=A*, ‘ ou . ,(Ÿ + sj(Y— .ÿ) = 6», ••

ou enfin v- • -•*; ‘ •! . .1 .

MN'xMN = 6*.. .

Il résulte de là que

Le rectangle des parties- d’une sécante, comprises entre (es asymptotes et un point de la courbe., est égal au carré de là moitié du diamètre, auquel la sécante est parallèle.

DEiL’HYl'gRBOLE. ' . * 25S

195. Les deux propriétés démontrées aux m* 191 et 192 donnent le moyen de construire une hyperbole, quand on connaît les asymptotes et un point de la courbe.

On peut d’abord construire la courbe par points. Si, en effet, on mène, par le point donné M (fig. 109), une droite quelconque NMN’ qui rencontre en N et N‘ les. asymptotes, > puis que l’on prenne NM'==NM, le point M' appartiendra à l’hyperbole. On pourra obtenir ainsi autant de points qu’on voudra de la cqurbe.

En second lieu, on peut trouver aisément les axes de l’hyperbole; en effet, pour avoir les- directions des axes, il suffit de diviser en deux parties égales les angles formés par les asymptotes ; on aura ensuite la demi-longueur de- l’un . . • des axes, en abaissant du point M unè perpendiculaire sur la direction de l’autre axe, et cherchant ensuite (n° 192) une moyenne, proportionnelle entre les segments de cette perpendiculaire, compris entre les asymptotes et le point donné.

194. Les mêmes propriétés donnent encore une méthode très-simple pour construire une hyperbole, quand on connaît deux diamètres conjugués et l’angle qu’ils font entre eux.

En effet, en menant les diagonales, du parallélogramme construit sur les diamètres conjugués, on aura les asymptotes; connaissant les asymptotes et, deux points de la coHrbe, on pourra la construire par points ou trouver les axes par je moyen indiqué au n° précédent. . ‘ \

forme de l’équation de l’hyperbole rapportée a