FF>P'N
S04. La propriété démontrée au n» 202 donne le moyen de construire aisément autant de points qu'on veut d'une parabole ^ dont on a le foyer et la directrice.
Soient F le foyer et DD* la directrice (fig. 115). Abaissons du foyer une perpendiculaire EE' sur la direct|2^y et soit E le ^^^ point de rencontre. II est clair que le milieu S de FE appartient à la parabole ejtf^e ce point est le seul qui fibit commim à EE' et à I9, courbe.
^- "*• Pour avoir d'autres points ,
soit F un point quelconque de SE'^ menons par ce point MM' perpendiculaire à EE'/^idécrivons^ du point F comme œntroy une circonférence d'un rayon égid à PE; cette droonférence rencontrera la droite MM' e#deux points M et M' qui appartiendront à la parabole. Je dis , d'abord , qu'il y aura rencontre , pourvu que le point P soit situé sur la partie indéfinie SE' de la droite EE'; car alors le rayon EP sera plus grand, que la distance du centre F à la droite. En second lieti , les points M et M' appartiendront à la courbe; car^ pour le point M par exemple^ on a FM = EP=:MN. On aura de cette manière autant de points qu'on voudra de la parabole.
On peut aussi tracer d'un mouvement continu une por-
266 GÉOMÉTRIE ANALYtiQUE A DEUX DIMENSIONS.
1—- ty
tion de parabole aussi étendue ({u'on le vêttt. Soient
Diy la dire«W6e, P le toyet (fig. 146)^ et supposons qu'on veuille tracer la portion de parabob comprise entre la directrice et une parallèle KKS située à une dkAance de la directrice égale & EH. On prendra une équerre ÂBG dont un des côtés de Tangle droit AC soit égal à ËH; on prendra Aussi un fil de même longueur; on fixera l'une des extrémités de ce fil au foyer F et met G de Téquerre; on placera une rice et Pon appuiera Téquerre sur la règle, de mani^^fue le sommet A soit en E et le sommet C en Hn Cela posé , si Ton fait glisser Téquerre de E vers D et que Ton tende le fil par le moyen d'un style appliqué sur CA et muni d'un crayon^ la portion 6MK de là parabole se trouvera tracée par 16 crayon. On décrira par le même moyen la pOBtipn SK'. Il est aisé de justifier la construction précédenteîWonsidérons en efiet Téquerre dans une quelconque de ses positions, et soit M le point ocgipé par le style; le fil forme la ligne brisée GMF, maïs lai longueur de ce fil est EH ou CA, donc ^
CM + MF = CM + MA ou MF=:MA; donc le point M a décrit une portion de parabole.
Pautre et règle suivà'
DO LA PARABOLli;^^ . 367
L4 FARàBOLB FlUt 6tIIB GONSIDiRâs COHia LA LmiTK D^UNB BLLIMK DANS LAQtlELLB LE GRAND AXE AUGBISAII INDipmtMtNT 4 TANDIS
Qm M vaiUMSt DO Mm au mmiir vouim itisn oomrrAMTB. 6oit ' • ■
réquation d'une ellipse rapportée à ses axes^ et supposons a> 6. Si l'on remplaçe^ïc,jiar x — a, ce qui revient à transporter lïgÉf des^ y^pa^^lMi^^)^^ à lui-même à l'un des
sommets, reADfiCl^cde MpurlptË :
La distance du sommet pris pour origine au foyer le plus
voisin est a — sja? — 6*; supposons que, cette distance restant constante, on fasse croître indéfiniment le grand tee 2a,* posons :
a— ^ti*~6*=»|, d'où 6«=2pa^Ç.
Eifi substituant cette valeur de h^ dans l'équation (2) 9 elle devient :
Si maintenant on fait croître a indéfiniment, on aura, à la limite, pour a = 0».:
équation qui est celle d'une parabole au paramètre p.
La parabole est donc la limUe d'une ellip}t^doni F axe focal eroU indéfiniment, tandis que la distance du /is^ au smmei voisin reete constante. ' ^"[^
Remarque. L'énoncé qui précède subsiste évidemmeat, si l'on substitue le mot hyperbole au mot eUifSk'''
S06. On peut présenter d'une manière un peu les résultats auxquels nous venons de parvenir.
aY + fc V t:^ a^V ,
l'équation d'une ellipse rapportéi^^jses '4à(es. Si l'on met a?— a au lieu de x dans l'équationLÎprélMfiËte^ il viendra :
ou, en faisant — =p et — r = 9 •
« Telle est l'équation de l'ellipse^ lorsqu'on la rapporte à son
grand axe et à la tangente à l'un des sommets. La quan-
tité p = — est dite le paramètre de l'ellipse ^ il est aisé de voir
que le paramètre est précisément l'ordonnée menée par un des foyers.
Soit de môme
l'équation d'une hyperbole. Si l'on y met or -f- a au lieu AeXy il vient:
, en faisant — = p , -^ = g ,
I quantité p est encore appelée le paramètre de l'hyperbole. D'après ce qui précède^ Féquation
mt représenter.^Épe. quelconque d^M|pP|bourbes du semd degré et cetfê?ôrme est souvent uStée. Si q n'est pas nul, l'équation précédente représente une lipse ou une hyperbole ; et^ en désignant par a le demi-axe
ical de la o0uri[)e^ on a 9 = d= -; il résulte de là que si p
îste constant et que a croisse indéfini|HjlÉtj on aura à la lilite 9^=0. On peut donc énoncer le théorème suivant : La parabole eitla limUe éPune ellipse au d'une hyperbole , ont le paramétre reste constant et dont Paxe focal croit îdéfiniment.
ANGENTB ET NORMALE. — SOUS-TANGENTE ET SOUS-NORMALE. ELLES FOURNISSENT DBS MOYENS DE MENER LA TANGENTE EN UN POINT DE LA COURBE.
S07. Soit
'équation d'une parabole. Les dérivées du premier membre MUT rapport à j? et par rapport à y sont — ^ et %; par suite e coefficient angulaire de la tangente au point {x'j y') est
no GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS.
(n"" 120) T^ OU "^ : celui de la normale est -^ ^ . D'après ^^ ^^ y P
<3lp^4 Féquation de la tangente sera œlle de la normale sera
y^yrc=^l{x-x').
5pW
La valeur absolue m coefficient angulaii^^ décroit de l'iih
fini à zéro^ quand le point (af, yf) , placé 4'abord an sommet^ s'en éloigne indéfiniment. On en conclut que la tangente au sommet est perpendiculaire à l'axe , et qu'elle t^d à devenir parallèle à Taxe, à mesure que le poiqt de contact s'éloigne du sommet W
L'équation de latangente y que nous venons de trouver^ peut s'écrire:
y'y—y'*=poo—p:xf,
ou , à cause de y'* = 2pa?' ,
si Ton y fait y = 0 , il vient :
x-{-x' = 0^ d'où x = — x';
cela montre que la tangente rencontre Taxe de la parabole, à une distance du sommet égale à Tabscisae du poiiA de contact, La.aous-tangente est donc dpubl^ de cette abxam Cette propriété fournit m moyen de cûnrtruire U Uonento;
or^u'on coimaît le point de contact. En effet, soient M
(flg. 117) le point do ooi|l|à ionné, OP son abscisse ||||^
Ton prend du oftté des abscisse négatives OT = OP, et — qu^on joigne le point M au pàaift, la droite MT sera la tangente demandée.
L'équation de la normale
fig. 117.
est
si l'on y fait y r= 0, il vient :
— y' = — -(jp — a:*), d'où Fon tire a?— a?'
ce résultat montre que, dans la parabole, la sous-normale est comtof^e et égale au paramètre. On en déduit un moyen de construire la tangente en un point donné M (fig. 117); car, si l'on porte, à pleurtir du pied P de l'ordonnée de ce point, une longueur FN=r]^^ on aura la normale en joignant le point N au point M ; on obtiendra ensuite aisément la tangente.
u TANennv vait mes angles égaux avec l'axe et avec le raton
VECTEUR BtENÉ AU POINT DE CONTACT. — MENER, AU MOTEN DE
cms pROPRiinf , une tangente a la parabole : 1*" par un mur situb sur la courbe; 2* par un point extérieur.
M8« Soient BIT (fig. 117) la tangente en M [x'y %(] à la puabole'
et T le point où cetlUtengeiiie coupe l'axe; on a vu (n^" ^7) qflfiMT=OP; on, a donc FM=TF; par suite^ le triangle FÎffr est isocèle et l'angle ^ff/^ est égal à Tangle FMT; donc, dam la parabole la tangeniefail de$ angU» égaux avec Paxe et avec le rayim vecteur mj^fi au point de contad»
Si Ton tire la droitc^ffi parallèlement à afxy les angles SBfH et MTF seront égâuxfl|^il résulte que la tangente fait âts angles égaux avec le rayon vecteur et la parallèle d Vaxt, menée par le point de contact, dette propriété est upe conséquence de la propriété de Tèllipse démontrée au n"* 138; car^ le centre de l'ellipse étant transporté à l'infini , le rayon vecteur correspondant au second foyer devient parallèle à Taxe,
S09. Le théorème que nous venons d'établir donne un moyen de v mener une tangente à la parabole : 1» par un point pris sur la courbe; 2° par un point extérieur.
V Supposons d'abord qu'il s'agisse de mener une tangente en un point M d'une parabole (fig. 118). Soient F le foyer et DD' la directrice; joignons MF, abaissons FE perj^ndiculaire sur DD' , prenons FT = MF et joignons le point T au point M; h ligne MT sera la tangente demandée.
En efiet, le triangle MFT étant isocèle, l'angle TMF= MTF ; donc MT est tangente.
Remarque. Menons, par le point M, la droite PQ perpendiculaire sur là directrice, et joignons FP ; le triangle FMP est isocèle, et la tangente TT' partage évidemment l'angle au
fig. 118.
DE LA PARAB(».E. 273
sommet en émk parties égales. U s'entu^ qu'elle est perpendiciAKre sur PF, et que le point I où elle la rencontre est le milieu dé PP V^par conséquent, si du point I on abaisse une perpendicuttire sur EP^ cette perpendiculaire passera par le milieu de EF ; ce seraMonc là tangente au sommet de la parabole, n résulte de là que la tangente au eammei de la pa^ rabote eM le lieu giamiirique de$ pieds des perpendiculaires abaiseéee du foyer sur les tangentes d la eaurhe, 3* Proposons-nous maintenant de mener une tangente
à la parabole par un point T extérieur à la courbe (fig. 119). Soient F le foyer et DD' la directrice; si le problème était résolu^ que TM fût la tangente demandée et M le point de contact, en abaissant MF perpendiculaire sur la directrice, et joignant FF, PT et TF, la fis* <>»• tangente MT serait perpen-
diculaire sur le milieu I de PF, et Ton aurait TP=TF. n suit de là que4e point- P est à l'intersection de la directrice et du cercle décrit du point T comme centre avec le rayon TF. Le point P étant connu, on joindra PF, et on mènera PM parallèle à l'axe ; enfin on abaissera TI perpendiculaire sur PF ; cette Hgne sera la tangente demandée^ et le point M où eHe rencontre PM tora le point de contact
En effet, on a, par construction, TP = TF ; donc la perpendiculaire TI abaissée sur PF passe par son milieu, donc MP=MF, ce qui prouve que M est sur la courbe. En second lieu, on a TMF =TMP=T'MQ, donc TM est tangente. Quand le point J est hors de la parabole, «a distance.au
is
274 GÉOMÉTRIE ÂNALYTIQUS h PEUX DIMENSIONS.
foyer est plua grande que^a distance à la dntrioe; donc le cercle TF coupe la directrice en deux pojpl P^ F» et il y a deux tangentes. Quand le point T est sti^ia parabole ^ «a distance au foyer est é^e à sa distance à la dKtectrice; le cercle TF est tangent à la directrice^ et il n'y a qu'une seuls taagentet Enfitti quand le point T est intérieur àla pfurabole, sa diataooa au foyer est moindre que sa distance à H direo* triée ; le cercle TF ne renoontra pas la directrice^ etfi n'y & plus de tangente.
StO, Enfin supposons qu'il s'agisse de mener à la parabole
une tangente, parallèle à une droite donnée CK (fig. 420].
Soient F le foyer et DD' la directrice^ si TT est la tangente demandée et M le point de contact^ en abaissant MP per- K pendiculaire sur la directrice, la droite FF sera perpendiculaire sur TT', qui la coupera en son milieu L H résulte de laque le point P est iw la renoontre de la direoMee et de Is perpendioidaire d)aissée du foyer sur la droite donnée CK. Ls point P étant connu^ on mènera, par ce point, PM parallèle k Taxe, puis^ par le milieu I de PF, une parallèle à GK; la dr^is TT ainsi obtenue sera la tangente demandée» et le point où elle rencontrera PM sera le point de contact*
Le problème admet toigourB une solution, et n'm admet qu'une seul». Toutefois cette solution disparaît dans le cas où la droite «tonnés est parallèle à Paxe.
Remm^m» La construction de la tangente, dans les css q/m^ noua veMoa d'examiner» ne suppose pas que la ooiube
at«iM.
soit tracée. IL suffit que Ton connaisse le foyer et la directrioe,
ÉquaêiM de la iaflfienie parallèle d une dmte iônnêe. ail. Soient
réquation d'une parabole , et
y= mxy
l'équatioq de la droite à laquelle la tangente demandée doit être paraÙèle. Désignons par a! et %f les coordonnées^ inconnues du point de contact ; l'équation de la tangente sera
t(y=p[x^x') ou y^lx+^)
et, pour déterminer les inconnues â/ et y'^ on aura les deux équations :
on en tire :
?=m, y" = ^px'',
y^^ et »=-2^i
L'équation demandée est donc
On voit qu'il n'existe, dans la parabole, qu^me seule tangente p^allèle à une droite donnée.
Remarque I. 8i l'on considère la quantité m ù0ixaB susceptible de recevoir toutes les valeurs possibles, la précédente équation représentera toutes les tangentes à la parabole.
Remarqœ IL On peut résoudre la n^me question par les ccmsidérations dcmt nous avons déjà fait usage (n^ 143) et qu'il serait superflu de reproduire icL
ÉquaHa^ de la tangenie menée par un pami exUrimr. 212. Soient
l'équation de la parabole doqnée^ et ((xfj}f) le point donnée par lequel il s'agit de mener une tangente à la courbe. Si le point de contact [x"y y") était coiinu^ l'équation de la tangente demandée serait
y'^y^pix + af).
Mais^ cette tangente passant par le point donné [x\ y[) , on doit avoir identiquement :
yy=p{x^ + x"),
et on a en outre :
y''^ = ^px";
les deux précédentes équations détermineront x"' et y", et le problème sera résolu.
Puisqu'on a l'identité
yY=p{x' + x'%
il s'ensuit que le point de contact ^a?", y") est situé sur la droite qui a pour équation :
y'y=ip(xf + x);'
et, con^TO^CMi peut mener, par le point [(xfyif), deux \angeutes àla parabole, la précédente équation représente la
droite qui joint les points de contact de ces tangentes avec la
courbe.
Le problème de mener une tangente à la parabole , par un point extérieur, se ramène à construire cette corde de contact qu'on peut obtenir très-simplement, comme on le verra dans la suite.
SlSJSflnignons , comme précédemment, par (a/, y^ Is point ps^equel il &ut mener une tangente à la parabole; réquation de cette tangente sera
le coefficient angulaire inconnu m devra satisfaire à Téquation de condition
et, par suite, l'équation (i) peut s'écrire :
d'autre part, Téquation (^) devient , en faisant disparaître le dénominateur,
2a?'m* — 2y'm + p = 0 , et Ton en tire ;
278 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DlMENSrONS.
ce qni pennei d'écrire les équations des deux tanglÀteft ddmandées. ^ '
Remarque, Les deux valeurs de m sont réaltoi et inégales, si le point est extérieur à la parabole, comme on Ta Âipposé) on a effectivement alors y'^—ipaf > 0 ; le^ valeurs de m sont égales^ si le point est sur la courbe; enfin elles font imagîp' naires; si le point est dans Tintérieur de la courbe.
n résulte de là qu'une tangente à la parabole o'a auouQ point situé dans l'intérieur de la courbe ; en d'auti9(|trterm|s , la parabole eat située tout entière d'un môme côté dfef chacune de ses tangentes.
DIAMETRES. — LES CORDES QU'UN DIAMÈTRE DIVISE EN DEUX PARTIES EGALES SONT PARALLÈLES A LA TANGENTE MENEE A l'eXTRBMITÉ DE CE DIAMÈTRE.
Ï14. Soit
y* — 2paî = 0,
l'équation de la parabole rapportée à son sonmiet et à son axe. Les dérivées du premier membre par rapport à o^ et par rapport à y sont — 2p et % ; par suite, le diamètre correspondant aux cordes parallèles^ qui ont tn pour coefficient angulaire, sera (n° i08) :
2my — 2p=0, ou
On voit immédiatement 1° que tout diamètre est parallèle à Taxe; 2** que toute parallèle à Taxe est un diamètre, résultat que nous avons déjà obtenu (n* i08).
DE LA PAlUiOLE. 979
9iJ^. 8ott Uiaff y') un point quAloonqué de la ptrtboie;
le coefficient angulaire de la tangente en M est ~; réquatîoû du diâ^ètre^ qui pasM par le point M^ est
on en déduit :
y' = ^, d'où m=^,.
Donc loi d0lrdeê, qu^un diamètre divise en deuaè parties égales, sùnt pàAfUèleê à la tangente menée à Vexlrémité de ce diamHre. '3
ÇJUfi propriété donne le moyen de mener une tangente : 1° parua point donné aur la courbe^ 3" parallèlement à uuq droijbe donàée. Ces questions s<»at trop faciles à résoudre, pour qu'il soit utile d'en développer ici la solution.
■♦ ÉqtMtion de la parabole y rapportée à une tangente et au iiêméire qui pasH par 1$ point de contact.
916, 3oit
réquation . d'une pairabole rapportée à son axe et à la tangent9>,au pommet. Remplaçons œ par a-f-^^cosa-f-ycosa' et y par b + xsina+ytànm' i\\ viendra :
[h + xdinsi'^-yBinoL'f = 2p(a +aî cosa + y cosa');
en laissant a, b^ n^ «* indétorminés^ cette équation représente une paraliKïlo hin^rtéè & deui^ aiAs qudccmquaa ^ ai l'oii
veut qu'elle ait la même fonne que réquation (1)^ Il utb poser :
smasina'=0, sm*a=0, fcsina'— pcosa'=0, ft*— îpa=0; ce qui réduit réquation de la courbe à
en faisant de plus
L'équation (2) représente la parabole rapportée à ii|i diamëtte et à la tangente qui passe par Textrémité du diamètre. , / Il est bon de remarc^er que la quantité p' est mdsément égale au double de la distance du foyei* à la nouvelle origine. Il est presque superflu d'ajouter que les équations des tangentes et des diamètres sont ici les mêmes- que quand la parabole est rapportée à son axe et à son sonmiet
y EXPRESSION DE l'aIRE d'uN SEGMENT PARABOUQUE.
917. Soit proposé d'évaluei^ Taire du segment parabolique, y/ compris entre Tare BC et sa
7 corde. Prenons pour axe des œ
n/ B^'^"^^^ (fig. i2i ) le diamètre Aa?, qui
passe par le milieu P de BG>
et pour axe des y la tangente
^ ^ y p ^ ^y parallèle à BC ; Téquatipa de
la parabole sera
y' = ipx.
flg. 191. Soient 0 Tangle yAâ?; a? et y
les coordonnées du point B ^ et u Taire du triangle ABP« Si
l'on considère x comme variable, h sera une fonflOm de x, et la dérivée u' de cette Conction aura pour valem- :
»' = «(Sin9 = a;>sin6v'ip.
^fonctions s'annulent toutes deux p^ x^Q, donc elles soufégales ; ainsi on a :
Qir^i l'on mène, par le point fi, ÇN parallèle à AP, ot| mera un parallélogramme APBN dcuat l'aire est pré xydnQ, donc : Vaire du triangle curviligne ABP 4 aux deux tiers de l'aire du parallélogramtM APBN. PiUr> la même raison, l'aire du triangle APC est ^ale aux deux tiers de l'aire du parallélogramme formé sur les lignes AP et PC; on voit doDC que le legnunt parabolique, eomprii entre un are «( » eoi^ «t ^oJ otu; (ieux Hèri au parallélogramme jÊfi' tinât «iir to eçrde et la partie du diamètre conjugué eoa^rite entre Pare et la corde.
QuestitMs propoûes.
I. Trouver le lieu des sommets des angles égaux à on angje donné et drconscrits à une parabole.
I» GCOHËTBIE ANALI^IQUI 4 DEUX DWENSIONS.
II. iMmvw l'dqiiatjon d'une nonnils k li panbolo, parti' lèle à une drcHte donnée.
III. Trouver l'équation du lieu des points, d'où l'on peut mener à une parabole deux normales seulement. Ce lieu E^ pare le plan en deux répons; par chacun des points de l'une de» i^oni on peut mener trois nommes à la parabole, par chacun des points de l'autre région on n'en peut mener qu'une aeule.
IV. Trouver le lifflÉfes. sommets des fingles droits dont lis cAtés sont normaux v'une parabole. Ce lieu est une parabole tangente au lieu qu'il s'agit de trouver dans la question précédente.
V. Trouver l'équation de la normale qni intercepte dans la courbe une corde minima. Examiner la positiofa de cette corde par rapport à la courbe dont il s'agit dans la question m.
VI. Trouver l'équation de la normale qui intercepte un segment d'aire minima.
^n. Démontrer qne la circonférence, drconscrite au triangle tgHw par trois tangente* à une parabole , passe par le foyer dïMÉDurbe. Déduire'de ce théorème un moyen do construire uneBrabole dont on connaît quntre tangentes.
\m. Étant données deux circonférences, on mène à l'une d'elles une tangente qui coupe la seconde en deux point»; par ces deux pointa on mène des tangantes k la première ci^ conférence. On demande le lieu du point d'intaM|)lion de ces deux deinières tangentes. Le lieu peut être nuji qud> conque des trois courbes du second degni.
DBS COORDONNEES POLAIRES. 283
