CHAPITRE IX

DS8 GOÛRDONNÉES POLAIREa

PASSER d'un STSTiME DE COORDONNEES RECTANGULAIRES A UN ] STSTàMB DE GOORDONNisS POLAIRES^ ET RiaPROQUEMENT.

818. Nous avons dit (n*5i)jqu*on noidjm^énéralement coardontiies d'un point , deux quantités susceptibles de déterminer la position de ce point sur un plan. Nous nous spjfmns bûmes exdusivement jusqu'ici à l'emploi des coordoÉbéM #iitt rôctOigneflf il nous reste à parler d'un autre système très -«différent et qui^ dans certains cas, offre des avantages considénldes. Soit Ox (fig. 122) une dro^e fixe et 0 un point fixe de cette droite ; la position d'un point

quelconque M du plan sera déterminée 9 si l'on connaît la longueur OM et l'angle UOx qu'elle forme avec la droite iii; 122! fixe; ces deux quantités sont

dites les coordonnées polaires du point M ; la coordonnée linéaire est désignée sous le nom de rayon vecteur ; le point fixe 0 est dit le pôle et la droite fixe Ox l'axe polaire.

819. II est aisé d'exprimer les coordonnées rectilignes d'un point en fonction de ses coordonnées polaires^ ou inver-

m GâOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS.

sèment» Soient Ox et Oy deux axes rectangulaires; désignons

par a; et y les coordonnées d'un point ^dconque M (fig. 123) ; si'ron prend b droite Ox pour axe polaire Ht le point ù pour pôle , que Ton désigne par p le rayon vecteur OM du point M, par co sa coordoidlée fig. 123. "* angulaire MOa?, le triangle

rectangle MOP donnera :

a?=ï:f cosu), y=psinu>.

On déduit de ^i||ibrmules ou de la considération du triangle MOP 3

et sinc»=:

COS(i>

formules qui permettent de revenir des coordonnées polaires aux coordonnées rectangulaires.

Si, au lieu de prendfe pour axe polaire Taxe des Xy on prend (fig. 123) une droite OX faisant un angle a avec raxe dés x et pour pôle l'origine des coordonnées rectangulaires^ Tes foiv mules de transformation se déduiront évidemment des fo^ mules (1) en changeant a> en a> -|- a ; on aura ainsi :

(2) a?t=pcos(w+a), y=psin(a)+a);

puis

tang (w + ôt) = ^,

BIh^ les formules^ relatives au cas où le pôle est un point pelconqu^ ayant a et 6 pour coordonnées rectangulaires ^ et )ii Taxe poUiiie fait l'angle a avec l'axe des abscisses^ se déluiront encore des formules (1) en ajoutant a et fr à leurs sexmds membres et en remplaçant co par co-f-a; on obtient linsi les formules :

(3) a?s=sa+poos(w4-a), y=6+psin(tû-|-a), (l%ron déduit :

p= v^(a?— a)* + (y— 6)S tang(w + flt)^

iC— Il

Remarque 1. Dans ces dernières formules, Tangle a peut être supposé 9 à volonté^ compris entre 0<> et 360o ou entre — 180» et+i80o.

Remarque IL La transformation des coordonnéeAectilignes obliques en coordonnées polaires n'offre pas plus de difficulté^ mais les formules relatives à ce cas ne sont d'aucun usage^ et nous ne nous en occuperons pas.

220. Dans la recherche précédente ^ nous avons supposé le rayon vecteur positif, et l'angle &> compris entre zéro et 360°. Effectivement^ on peut obtenir tous4es points du plan^ en faisant varier p de zéro à l'infini, et t» de zéro à 360^ Mais cette limitation est inutile; en outre elle altérerait dans bien des cas la généralité des résultats. H est aisé de comprendre la nécessité de n'admettre d'autres limites pour le rayon vecteur que — Q» et -|- oo. On ne se borne pas, en effet, à consi^. dérer des figures formées de pomts isolés, mais encore des lignes engendrées par le mouvement d'un point qui se meut suivant une loi détei minée; or, dans un pareil mouvement, il y a deux choses à considérer; d'abord le mouvement de

la droite qui joint le point mobile «u pôle 0 et, tt ieOOid lieu , le mouvement du point mobilo tur œtte droite. Dans tp dernier mouvement , le mobile peat paiief de pai||jil d'antre du point 0 ; il y a donc lieu de coaâék(» des in^ns veoteui^ positifs et des rayons vecteurs négatifs^ si ton ne vent pas rompre la continuité qui se présente d'eUaHoème* Qosttt au mouvement de la droite mobile, sur laquelle se compte le rayon vecteur, il n'y a aucune raison pour qu'il ne soit pas indéfini dans un sens ou dans l'autre; nous admettra donc que Tangle polaire peut prendre toutes les valeurs entre — oo et + *=*^«

n résttlU|de là que les deux coordonnées polaires d'un point donné ne sont pas absolument déterminées, «ar si l'on a^ pour un point:

on pogrra écrire, si Von veut , ou

k désignant un nombre entier positif ^ nul ou négatif.

921. On pourrait a*oi£t que ce qui précède ne doit pdflt s'appliquer aux courbes algébriques. Effectivement, si

est l'équation d'une courbe algébrique, F(â?^ y) désignant une fonction rationnelle et entière de j? et de y, on obtiendra réquation de la même courbe , en coordonnées polaires , en reaqdaçant m par poosio et y par p sinco, ce qui donne :

(2) F(pcosu», psiA(D)»0.

• DES GOORDQNNÉES H)LAIRËS. 387

Or^ dmê tes fonnulâi de transformation , on obtient tons les pointa (se, y) y en afttribnaiit à p une valeur positive et à <i> une valeur igfl||ttfrise mitre zéro et 360"*; par suite^ il n'est pas nécessaiie fl|^Kmsidérer lea valeurs de p et de co en dehors de ces limites. Cette conclusion est vraie en général ; mais^ bien que réquation (i) soit supposée irréductible^ il se peut que réquation (2) soit décomposable en plusieurs facteurs^ alors l'équation

.») Ap, co) = 0,

obtenue en égalant à zéro Tun de oes facteurs^ ne pourra donner qu'une nortion de la courbe. Au contraire^ on obtiendra toute la coolbe, à l'aide "SiifSi^ équation (3)^ si Ton aivèt toutes les valeurs réelles aé£ deux coordonnées polaires. Les courbes du second degré en fourniront un exeil$|B remarquable.

EQUATIONS DBS TROIS COURBES DU SECOND DE61^^ EN COORDONNisS POLAIRES^ LE POLE ^TANT SITu£ A UN FOV^ET LES ANGLES éCANT COMPTAS A PARTIR DB l'aXB QUI PASSE PAR CE FOTER.

S8S. Les formules de transformation, que nous avons établies précédemment^ permettent d'obtemr immédiatement Péquatlon en coordonnées polaires d'une courbe^ dont on a Péquation en coordonnées rectilignes. Ainsi l'équation générale de la ligne droite^ en coordonnées rectilignes^ étant

Ay + Ba: + C = 0;

l'équatioA^ en coordonnées polaires, sera :

^ Asinta -|-Bcosco'

288 GÊOMÉTRlb: ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS.

l'axé des x étant pris pour axe polaire et Torigine pour pâle. Si Ton part de Téquation de la ligne droite, mise jpos ^ forme :

ysina + arcosa = p ,

on trouvera plus simplement

^ C08(ci) — a)

283. En appliquant la même transformation à une^^ifebe du second degré, on obtiendra une équation qui sera du second degré par rapport à p,4^t la valeur de ce rayon vecteur sera^ en général, u«e fcpction irrationiielle de sine» et de cosco. Pai* exemple, s'il s'agit de Tellipse ou de 1%

qu'on prenne Tax^ des x pour axe polaire et le centre pour pôle , 09 trouve^ t

v/db o* sin'tû -f- 6* cos'w

Mais , si Ton prend pour pôle le foyer d'une courbe du second degré, et qu^on fasse la substitution des valeurs deâ; et de y, e^yprimées en fonction de p et de co, Téquationse décomposera en deux facteurs rationnels. Si, alors, on se conforme aux prescriptions du n® 2120, l'équation, obtenue en égalant à zéro l'un quelconque de ces facteurs , sera propre à représenter la courbe.