Supposons d'abord qu'il s'agisse d'une ellipse, et soit

(I) oy + 6V = aV,

équation dé cette courbe rapportée à ses axes. Si Ton prend oor pôle le foyer situé du côté des abscisses négatives^ et si on suppose que la direction de Taxe polaire soit celle des bscisses positives^ les formules de transformation seront :

x= — c + pcos<o, y = psin(o ; aisant la substitution et observant que a' — fr*= o* y il vient :

(i rCOS'wjp* r-pCOS(i> : = 0 ,

>u, en faisant— = p, - = e ,

(i — e*cos*C)D)p* — Spepcosco — p*=iO, et l'on en tire les deux valeurs de p :

^' ^ 1 — ecosw^ ^ i + ecosw'

or je dis que Tune quelconque de ces équations peut donner tous les points de la courbe. Considérons d'abord la première. Si Ion fait croîtie co de zéro à 180^^ la valeur de p est con-

stanîment positive et décroît de à 3-7--. On obtient ainsi

tes deux premiers quadrants de Tellipse^ c'estràrdire ceux qui sont situés «du côté des ordonnées positive^. En faisant croître co de IdO^ à 360% la valeur de p reste positive et croit

de — ^-^ à --^ ; on obtient ainsi les deux derniers quai + e i — e ^

drants de la courbe. Il est évident qu'en faisant croître «> an delà de 36)0^ ou en attribuant à cet angle des valeurs négatives , on ne retrouvera que les points déjà obtenus.

)90 GËOMÊTRIB ANALYTIQUB.A fiSUX DIMENSIONS.

n est aisé de voir que la deuxième des équati^ (I) donnera exactement les mêmes points que la premièii»| w^ supposons que f = p'^ «o = «>' soit une solution de Ut premiiie équation (2) ; le point dont les coordonnées sont p' et «§' peot être considéré^ ainsi que nous l'avons vu^ comme ayant pour coordonnées — p* et iSO^ + o/; dt^, p= — p', w=:180*+w' forment une solution de la deuxième équation (2). On îetû voir de même que tout point donné par la deuxième équation (2) peut l'être également par la première.

225. Le cas de Fhyperbole est analogue à celui deTellipse; l'équation de la courbe rapportée à ses axes étant

si Ton prend pour pôle le foyer situé du côté des abscisses positives, et si l'on, suppose que la direction de Taxe polaire soit aussi celle des abscisses posit^s^ ïèè fôlriiitites d^ tMttarformation à employer seront :

à5=:c + pcosci>, yï=psîûci>;

MMnt la Bûbfititûtictt et observèât iq^ti*+ft*^<^9 fl yM'

ou, en faisant-r = » , - = c,

(1) {l--e'cos*w)p*— gspepco6>— p*=0,

équation qui est la même que cdle relative à l'ellipse^ (mtt tire .ces deux valeurs de p :

^' 1 — e<5QSCi) i-f-«C08«D

DES GQÛRDONN££S POLAIftBS. 291

Si Ton rejette les valeurs négatives de p ^ chacune de ces équations ne représentera que l'une des branches de Thy* perbole ; si , au contraire^ on admet les valeurs négatives de p, Tune quelconque des équations (2) pourra être prise pour celle de la courbe.

11 est d'abord évident que^ si l'on admet les valeurs négatives de p^ les points, donnés par la première équation (2), le seront également par la seconde et réciproquement; on s'en convaincra en répétant ici le raisonnement que nous avons fait plus haut pour l'ellipse. En second lieu, je dis que si l'on rejette les valeurs négatives de p, chacune de ces équations (3) ne peut représenter qu'une seule branche de l'hyperbole. En

effet, considérons 9 par exemple, la première équation (2) :

e étant ici plus grand que 1, nous poserons cos a = - ; a étant

un angle compris entre zéro et 90^. L'équation, dont nous nous occupons^ peut s'écrire :

pcosa f s= .

COSa — COSW

Si Ton fait croître w de zéro à a, ou de 360o — a à 360**, p est négatif et nous rejetons les points correspondants. On doit donc se borner à faire croître co de a à 360® — «; pour cù=a, p est infini et décroît constamment jusqu'à ce qu^on ait (0 = 480**, il croit ensuite jusqu'à l'infini en reprenant les mêmes valeurs. En donnant à (» des valeurs supérieures à 360^ ou des valeurs négatives et rejetant toujours les valeurs négatives de p, on n'obtiendra que les pointa déjà trouvés, et ces points f(Minent évidemment une branche continue qui n'est qu'une demi-hyperbole.