Goni^dérons enfin le cas de la parabole et soit

réquaiion de cette courbe rapportée à son axe et à scm sommet Prenons l'axe pour axe polaire et le foyisr pour pAle^ les formules à employer sont :

P I j? = ^ + pcosa) , y = psmci>.

En faisant la substitution^ il vient :

(1) (i — cos*c«))p* — 2/>pcosb> — p*=0, d'où l'on tire les deux valeurs de p ^

(2) p = — -^— , p = ZlP.

^' "^ 1 — COSco ^- i+COSto)

U est aisé de voir^ en répétant les raisonnements déjà faits pout l'ellipse^ que Tune quelconque de ces équations, est propre à représenter toute la parabole si l'on admet toutes les valeurs positives et négatives du rayon vecteur.

Remarque. U résulte de ce qui précède que l'équation

i — CCOSco

représente les trois courbes du second degré^ savoir: l'ellipse, si e est moindre que 1^ la^ parabole, si e=i, et l'hyperbole, si e est plus grand que 1. On est ainsi conduit à considérer la parabole comme étant une ellipse ou une hyperbole dont Texcentricité est égale ai.

227. Les propriétés connues des foyers permettent de trouver très -simplement l'équation des courbes du second degré en coordonnées polaires ; mais la marche , que nous avons suivie, est bien jplus propre è mettre en lumière^Fim-

portance des considérations développées plus haut. Nous nous bornerons à indiquer cette deuxième méthode.

L'ellipse étant rapportée à ses axes, désignons par x l'abscisse d'un point de la courbe, et par p la distance de ce point au foyer situé du côté des abscisses négatives; on a> quel que soit ce point :

, ex

en mettant — c+pcos<o au lieu de Xf et faisant— = p,

- = e« on obtient:

i — ecosca

On obtient>d'une manière analogue l'équation de lliyperbole et celle de la parabole.

Des tangentes aux courbes dont on a Péqi/iation en

coordonnées polaires.

SI28. Dans le système des coordonnées polaires, on détermine la tangente en un point d'une courbe, en cherchant son

inclinaison sur le rayon vecteur. Soient w et p les deux coordonnées MOa; et OM d'un point M d'une courbe (fig. i 24); soient 6)-|-A et p+ft les coordonnées d'un second point M' de cette courbe ; tirons MM' et ig. IS4. désignons par U l'angle OMK,

formé par le rayon vecteur OH et le prolongement de la

204 GÉOMÉTRIE AMALYnQUE A DEOI DIMENSIONS.

eorde MM'. Le triangle OMM* donne :

OM' sinOMK p+i smJJ

OM "" sinOMK p ~ 8m(U~A) '

On en déduit :

k sinU — sîn(U — h)^ 7"" 6in(U— A) '

divisant par h, il vient :

. - 2sin-cos(U — -) sin- oo«(D— ^1

p Â"" Asin(U— A) """F' sin(U— A) '

A fiiiidnt ]^3=r0 et désignant par ff la limite de t-> <fest-à-diie

la dérivée de p par rapport à cd^ par V la limite de U^ il vient :

- = 7-^ OU tangY= V P tangV p'

929. Prenons pour temple la courbe du seoond degré représ^tée par réquition

^ 1 — ecosw On a ici :

1 — ecosu)

tangV=—

esinm

DES GOORDOMNÉBi POLAIRES. 29S

Des asymptotes aux courbes dont on a Véq^fkti(^

930. Cpnsidéroq^ une branchq infinie d'qne courbe; si an point se meut sur cette branche et s'éloigne indéfiniment, Cfc grandeur du rayon vecteur croîtra indéfiniment et sa direcion deviendra parallèle à l'asymptote de la branche, si cette >xanche a une asymptote, IJ résulte de là que, pour avoir les asymptotes d'une courbe rapportée à des coordonnées polaires, il faut chercher d'abord leç valeurs de (o pour lesquelles p est infini ; cela fera connaître les directions des asymptotes j voici maintenant comment on achèvera de les déterminer. Soit MN (fig. 125) une branche de courbe infinie; soient co et p les co- ^^- ^'** ordonnées d'un point quel-

conque M de cette courbe; enfin soit a l'angle que fait le rayon vecteur avec l'axe polaire Oa?, lorsque le point M est ^ l'infini. On aura évidemment la distance de l'asymptote à la droite OP, en cherchant la limite vers laquelle tend la longueur de la perpendiculaire MP abaissée du point M sur OP, lorsque le point M s'éloigne |i l'infini. En désignant donc par 8 cette limite , on aura , dans le triangle OMP :

8=:lim.psiBJ;ar?riw), PU 8 = lipi,p§in(«D--ra)j

suivant que o) sera inférieur ou sup^eur à sa limite a. Si la quantité Z est infinie, la branche de courbe n'a pas

d'asymptote; si elle est nulle , la ligne OP est ellenoième l'asymptote.

On a un moyen très-simple de trouver dans chaque cas la

valeur de 8.

L'inverse - du rayon vecteur est une fonction de tù, don- P

née par Féquation de la courbe. Désignons cette fiMOcdon par f((o]; posons en outre (o = a4-A9 on aura:

8=±lim-z

sin^

ou^ comme /(a) est nulle par hypothèse ^

S=±lîm

sinft

.. sin h lim— r—

f(a + h)-f(a)'' ^f(a + h)-f(aY

ou, en désignant par /'(u) la dérivée de f{a>) ,

formule dans laquelle on prendra seulement le signe + ou le signe — ^ suivant que /'[a] sera positive ou négative. 231. Appliquons ce qui précède à l'hyperbole

1 — e cos to)

La quantité e est en valeur absolue plus grande que l'unité; on peut donc trouver un angle tel que Ton ait :

cos«

DES COORDONNES POLAIRES. 297

en substituant pour e cette valeur, Féquation (1) devient :

pcosa

ces a — COSto

Les valeurs de a> qui rendent p infini sont a>=a et ci>=27c — a; cesi: viUeurs indiquent les directions des asymptotes. La fonction — ou /(co) est id tt9

et sa dérivée

COS a — COScd

pcosa

sine»

On a donc :

pcosa

8 = ±pcota; ce qui achève de déterminer les asymptotes.

Qtiestions à résoudre.

h Trouver l'équation générale du cercle en coordonnées polaires. Cette équation est

p* — 2d!cos(a — co)p + cl' — r*=0.

n. Trouver l'équation^ en coordonnées polaires, de la ligne droite qui passe par deux points donnés, ou satisfait à deux conditions données.

m. Trouver l'équation, en coordonnées polaires, de la tangente à l'ellipse ou à l'hyperbole, ou à la parabole en un point donné.

IV. Trouver réquatioH y en coordondées polaires , du lieu décrit par un point d'une circonférence qui roule sur une circonférence fixe de même rayon.

V. Tous les points d'un plan peuvent être déterminés par deux Hyom vecteurg, c'est-à-dfre par leurs distanoes k deux pointa fixes, Op demande de démontrer que, dans ca sjb-k tème de coordonnées^ le rapport des cosinus des qu'une tangente à une courbe fait avec les deux rayoii! teurs du point de contact, est égal à la dérivée de l'un des rayons vecteurs considéré comme fonction de Tautre. Déduire de là les propriétés connues de la tangente à FfiiUipii ^ à l'hyperbole.

VI. Tous les points d'un plaij peuvent être déterminés par les angles que font les deux rayons vecteurs avec la droite qui joint les deux pôles. On demande de trouver l'équation de l'ellipse et de l'hyperbole dans ce système de coordonnées angulaires, en prenant pour pôles les deux foyers. L'équation de ces courbes est :

^ï^g 5 ^ • ^J^S 5 ^' ^^ çonjstante.