CHAPITRE X
klSCUMIOH mi QUItQOBI COUMIBS ALGiBMQUES «T TlUHSeeiniAtms. — DETERMINATION DE LA TANGENTE EN UN OS LEURS POINTS. — ASYMPTOTES DES BRANCHES INFINIES.
232. Nous nous proposons^ dans ce chapitre ^ de monrer, par des exemples^ comment on doit discuter et contruire la courbe représentée par une équation donnée. La liscussion consiste à examiner de quelle manière varie l'une les deux coordonnées, quand on fait varier Tautre d'une nanière continue entre — oo et +00. L'algèbre nous fait lonnaitre un théorème fort important pour cet objet et qui consiste en ee qu'une fonction est crdssante, tant que sa lérivée est positive; et qu'au contraire elle est décroissante , ant que sa dérivée est négative. Ce théorème suffit, dans )ien des cas, pour dét^miner le cours des diverses branches lont la courbe est composée. Quant à la construction ultéîeure de la courbe, on Veffectue en déterminant un nombre le points suffisamment grand et joignant ensuite ces points [>ar un trait continu. La construction deg tangentes aux points qu'on aura ainsi déterminés, celle des asymptotes des brancbes infinies pmnettent ensuit^ d'id)tpb im démo fins exact de la courbe.
Bsemples 4e eonrbes rapporlée* h de« 6e«i>«oBaée«
Premier exemple (courbe parabolique).
233. On nomme généralement courbe parabolique da degré m, une com*be ayant une équation de la forme :
où f[x) désigne un polynôme entier et rationnel du degré m. Le cas de m=2 donne évidemment la parabole ordinaire. Proposons-nous de discuter et de construire l'équation
la dérivée y' de y a pour valeur :
y'zsOa:* — 6a?— 3, et l'on peut écrire :
Si X croît depuis — oo jusqu'à ~J =--0,36 , }f est
constamment positif et par suite y croît; au contraire, y dé-
croît, si l'on fait croître x depuis — - — = — 0,36....; jus-
qu
'à \^ =1,36. ... ; enfin y redevient croissant, lorsque
1 4- \/3 X croît de ""^ = 1,36,... jusqu'à -t-o».
Prenons sur l'axe des x: OA = i , OB = -, 0C=2; et,
sur Taxe des y, 0D=2 (fig. 126); la courbe part de l'infini
négatif, se rapp oche de l'axe des X qu'elle coupe en A , s'élève au-dessus de cet axe jusqu'au point E dont Tabscisse
est— 2^=-0,36 ,
* puis ^e s'en rapproche et le rencontre en B; elle s'en éloigne de nouveau jusqu'au point F dont l'abscisse est
= 1,36 , s'en rapproche et le rencontre en C;
enfin elle s'en éloigne et s'étend à l'infini.
L'angle, que la tangente fait avec l'axe des x au point A^ a
pour tangente trigonométrique -t-9; au point D, — 3; au
point B, — âî *^ P^^^t C, + 9.
En Ë et F la tangente est parallèle à l'axe des x; ces tangentes correspondent au maximum et au minimum de l'ordonnée.
La courbe n'a pas d'asymptote, puisque— est infini
par â?=: Qo«
Deuxième exemple,
