Soit l'équation

;g» + 2j?— 3 ^""ic* — 8x + i2'

on trouve, pour la dérivée y' de y,

902 GÉOMfiTftlS ANALYTiOUB k DBUX DIMBifSIONS.

oa peut écrire :

iOar(a?— 3)

Pouf aî=i=— GO, on ayîïslj dea:= — oo àa?=r — 3, j/'est

négatif, par suite y décroît depuis 1 jusqu'à zéro; de â;=— 3 .

à a;= 0^ y' est négatif et y décroît de zéro à — -r ; de 2r=0

à ic= + 1 , y* est positif et y croit de — --k zéro ; de x=l

à â;ssS> y' est positif et y croit de zéro à 4"^=^; cl^ ^=^ à 0^=69 y est négatif, mais yf est positif de a;=2 à jr^3 et négatif de â?=3 à i»=6; par suite de xt=^ à a:fi=3 y croit de — 00 à — 4, et de d:=3 à aF=6 y décroît de -^4 à — 00; de a;r=:6 à a;$i24<<yat, y' est négatif» par suite y décroît de +qo à +i.

flg. t2T.

m» urnes courbes en général. «m

Il résulte de cette discussion que notre courbe, qui est du troisième degré, est composée de six brandies infinies, comme l'indiqué la figuré 127 ; deux de ces branches ont pour asymptote la droite UV, dont Téquation est t/=i; deux autres la droite GH,(a:=2) ; deux autres la droite KL,[x=6). La courbe ooupe Taxe des ar aux points Af{x:=a — ^3) et C^(âr=xl); Taxe des y

AUpoitiitS, \v=' — 7] ; elle à deux tangentes parallèles à

I^lEucedes a:Jye=t — j^ yz=r — 4] ; ees tangentes correspcm-

dént à un minimum et à un maximum de l'ordonnée. Les tangentes aux points A et C font avec Taxe des x des angles

flôtil les tattgentes trîgonométriques sont — 7^ et + - .

ftoinièinè metfhiple (Polium de Descarteà).

235. La courbe, connue sous le nom de folium de Destarte» , à pour équation , en coordonnées rectangulaires :

Cette équation ne peut être résolue ni par rapport à j; ni par rapport à y ; mais^ dans toute équation du troisième degré , on peut faire disparaître Tun des termes en y^ ou en x^ par la transformation des coordonnées^ la nouvelle équation^ ne renfermant plus alors que le carré et la première puissance de l'une des variables, peut être résolue par rapport à cette variable. Dans l'exemple qui nous occupe, si l'on prend pour lïes de coordonnées les bissectrices des angles formés par les anciens axes, l'équation devient :

(3a 4- ar V^)y« + x» sj'§, — 3ax*=0, on eil tire, pour y et pour sa dérivée y', les valeurs sui-

vantes :

v/3 Vo + a?v^2

La courbe étant symétrique par rapport à l'axe des X, nous ne nous occuperons que de la valeur positive de y. Cette valeur de y n'est réelle que si x est compris

entre iiet— :. Pour j:=: -, yestinfinîj dea:= — -

à â;=0^ y' est négatif, par suite y décroit de Tinfini à zéro.

â v"^ V^ — ^7 ^^^^ y décroît depuis cette valeur maximum

jusqu'à zéro, lorsque x croît de —7— à -— , puisque ^ est alors

constamment négatif. La courbe est donc composée d'une

boucle fermée et de deux branches infinies ayant même asymptote , comme l'indique la figure

On voit que l'origine est un point double, c'est-àrdire un point par lequel passent deux branches de la courbe; ;. 128. ces deux branches

DES liffiÈlES COURBES EN GÉNÉRAL. 305

correspondent aux deux combinaisons de signes que Ton peut former pour les radicaux qui composent la valeur de tf; en faisant x=^0 dans la valeur de y' on obtient ces deux valeurs y'==4-i , y'= — 1 , d'où il suit que les tangentes au point 0 ont pour équations :

y=x, y=—Xi

ces droites ne sont autre chose^ que les axes auxquels la courbe était primitiveinent rapportée.

Remarqtte. Le foliun^ de Descartes peut être con^truit^et discuté de la manière la plus simple au iiioyen de son équation en coordonnées polaires; S en ;effèt on*))ose :

X = pCOS(0, ^=psina>,

l'équation primitive

y^ — 3axy-\rX^=0y

devient :

3asinti)cosa)

sin'(i> + cos V

Nous engageons le lecteur à étudier la courbe d'après cette équation^

Quatrième exemple,