MF BD MK~"PH

mais , à cause des parallèles BG et DE , on a ^ïi = -ttî . Donc

M[ AB MK"^AH'

Donc : dam totUe section caniquej autre que celle» qui passent par l'axe ou sont perpendiculaires à Vaxe^ le rapport des distances d'un point de la courbe ù un point fixe et d une droite fixe est constant.

Si Ton désigne par a Tangle générateur du cône, par i l'inclinaison du plan de la section sur l'axe ^ le triangle ABH donnera :

AB sinAHB cosi

Donc

AH sinHBA cosa

MF cost

MK cos a *

Ce qui précède suffit pour établir que : •

l*" Le» »ections planes du cône droit sont des courbes du second degré;

2° Une courbe du second degré donnée peut toujours être placée sur un cône droit donnée à moin» que V angle des asymptotes de la courbe ^ si celle-ci est une hyperbole y ne soit plus grand que l'angle du cône;

Propositions que nous avons établies par le calcul aux n«» 250 et 251.

Des sections planes du cylindre droit.

S53. On nomme cylindre droit la surface engendrée par une droite qui se meut parallèlement à un axe fixe^ en restant constamment à la même distance de cet axe. H

résulte de cette définition que tout plan perpendiculaire à Taxe coupe la surface suivant un cercle , et que tout plan mené parallèlement à l'axe la coupe suivant deux génératrices. Le cylindre est un cas particulier du cône; c'est réellement un c^ne dont le sommet est à l'infini. Aussi la méthode, que nous avons employée pour étudier les sections coniques, s'applique-t-elle textuellement^ comme on va le voir, aux sections cylindriques.

Nous allons démontrer que toute section faite dans un cylindre droite par un plan non parallèle à l'axe, est une ellipse.

Soit HAH' (fig. 139) la section faite dans le cylindre; menons par l'axe un plan perpendiculaire au plan de la section^ qui coupe celui-ci suivant la droite Aj? et le cylindre suivant les génératrices BB', GC. Nous désignerons par a l'angle B' Ax; cet u jgg angle est compris entre zéro

et 180°.

Prenons pour axe des x la droite kx et pour axe des y la droite Ay, menée perpendiculairement à kx dans le plan de la section. Soit MP l'ordonnée d'un point M de la courbe^ par le point M menons un plan perpendiculaire à l'axe du cylindre ; ce plan coupera le cylindre suivant un cercle, ayant pour diamètre EF , et on aura :

MP =EPXPF;

le triangle AEP donne :

EP = a? sin a ,

et, en désignant EF par 2r , on a :

PF = 2r— a?sina.

D'après cela , FéquatioA (1) peut s'écrire : (2) y'=a:sina(2r— jîsina) ou y*=2rj?sina— j?'sin'a.

Cette équation représente une ellipse dont kx est Taxe focal ; en désignant par 2a le grand axe et par par 26 le petit axe y on a :

— =rsina et -T-=sin'a, a a' '

d'où

r bz=:r et a = --r

sma

11 suit de là que : les sections planes d'un cylindre droU sont des ellipses, ayant pour petit axe le diamètre de la section droite du cylindre (qu'on nomme ordinairement le diamètre du cylindre). Il résulte encore de là que : on peut placer une ellipse donnée sur un cylindre droit donné , lors que le petit axe de t ellipse est égal au diamètre du cylindre.

Section anti-parallèle.

854. On nomme cône oblique à base circulaire la surface engendrée par une droite mobile , assujettie à passer par un point donné et à s'appuyer sur une circonférence donnée. Le point donné est le sommet du cône et la circonférence donnée

est la base. On voit que le cône droit est un cas particulier du cône à base circulaire.

On peut démontrer aisément , par une marche analogue à celle que nous avons suivie , que les sections planes du cône oblique à base circulaire sont des coufbes du second degré. Mais nous nous bornerons ici à établir qu'il existe un système de sections circulaires autres que celles qui sont paiallèles à la base.

Soient S le sommet d'un cône oblique à base circulaire;

AB la base (fig. 140); joignons le sommet au centre G de la base, et, par la droite SO, menons un plan perpendiculaire au plan de la base, qui coupe celui-ci suivant la droite AB et le cône suivant les génératrices SA, SB. Soit IMR la section faite par un plan perpendiculaire au plan ASB. Menons Tordonnée MP d'un point M de la section et, par le même point M, un plan parallèle à la base du cône ^ l'intersection de ce dernier plan et du cône sera un cercle ayant pour diamètre EF, de sorte qu'on aura :

fig. 140.

MP =EPxPF.

Si U section IMK est aussi un cercle, on aura :

MP = IP X PK ,

et^ par suite ^

EPxPF = IPxPK; tfoù:

PK'^PF*

Les tnangies EKP, PPK «ont donc semblables ; d'où il suit que l'angle SIR est égal à SFE ou à SBA; réciproquement^ si cette condition est remplie, Téquation (2) a lieu, et, par suite 9 la section est un cercle. Le plan perpendiculaire à la base d'un cône à base circulaire, mené par le centre de cette base et par le sommet, est dit plan principal.

Op nomme section anti-parallèle du cône oblique celle dont le plan est perpendiculaire au plan principal, et qui, sans être parallèle à la base, fait les mêmes angles que le plan de cette base avec les génératrices contenues dans le plan principaL

855. On nomme cylindre obliqtie à base circulaire la surface engendrée par une droite assujettie à se mouvoir parallèlement à une droite donnée et à s'appuyer constamment sur une circonférence donnée , qu'on nomme la base du cylindre. La droite mobile est la génératrice du cylindre. Cette surface se réduit à un cylindre droit, lorsque la génératrice est perpendiculaire à la base.

Le plan, perpendiculaire à la base d'un • cylindre à base circulaire, mené par le centre parallèlement aux génératrices , est dit plan principaL

On nomme section anti-parallèle du cylindre oblique celle dont le plan est perpendiculaire au plan principal, et qui, sans être parallèle à la base, fait les mêmes angles que le

plan de cette base avec les génératrices contenues dans le plan principal.

Le cylindre oblique est un cas particulier du cône oblique; il s'en déduit en supposant que le sommet de celui-ci s'éloigne à l'infini^ en restant toujours sur la même génératrice. Cette considération permet d'établir immédiatement que la section anti-parallèle du cylindre oblique est un cercle, ce qu'on pourrait^ au surplus^ démontrer directement en suivant la marche employée au n"" 254.

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