HEXAGONE DE PASCAL

I. Lemms. Si troU coniques ont une corde commune A A' , les trois 6B', O^jÊÊÊftommunes à ces courbes^ prises deux à deux, passent

^^^^ I^HhE^^^ potnf.

ions poS?m^es x la corde commune et ponr axe des y une droite oque qui pourtant ne passe pas par Tune des extrémités de la ^mmune;, l'équation de Tune des coniques sera :

Ai/«-}-BflPî/4-CiF« + Dy + Ea;+l=0,

terme indépendant des variables n'étant pas nul par hypothèse , on Iviser toute Téquation par ce terme. En faisant y=0, il vient :

Ca;«4-Ea; + 1=0,

m qui a pour racines les abscisses des extrémités de la corde comaux trois coniques. Il s'en suit que dans les équations de ces trois s , les termes en x* et en x ont respex;tivement le même coefficient. )nc

Ay^ + Bapy + Co^ + Dy-f E«+l—0, AV + B'aPv4-Gfl5« + D'y + E»+l=0,

AV+ B"«y+ Ca^ + D"y4- EiF4- 1 =0,

allons des trois coniques. En retranchant les deux prémices Tane tre , il vient :

(A-.AV + (B-B>y + (D-.D0y = O,

décompose en deux autres, savoir :

y=0, (A— AOy + (B — B> + D — D' = 0.

oites représentées par ces équations passent par les quatre points lins aux deux premières coniques; la première y =0 comprend les )oints situés sur l'axe des x , l'autre est relative aux deux autres . Si donc on désigne, pour abréger, par P, P', P" les premiers membres

des équations des trolB coniques, les trois cordes communes, qae nom GODfidérons, auront pour équations :

Il est évident que ces trois droites se coupent en un même point

!MIA. Théorème. Dans tout hexagone tnsorît à une conique^ ^iff^^ de rencontre des côtés opposés sont en lign$^értrite, >

Soient ABGDEF un hexagone inscrit damiuie c<>ÉÉrC (flg* 142); tirons la diagonale AD; prolongeons les côtés AB, DEJHe coupait en I;

fig. 142.

BC, EF qui se coupent en K ; CD, AF qui se coupent en H, et joignons IH ; je dis que la droite IH passe par le point K En effet la conique G, ta conique formée des droites AB, CD et celle qui est formée des droites AF, DE ont une corde commune AD , d'ailleurs les trois cordes communes à ces coniques deux à deux sont BG, EF et IH ; les deux premières se coupent en K ; donc, d*après le théorème précédent ^ la droite IH passera par le point K.

Corollaire. Le théorème ne cesse pas d'avoir lieu si l'un des côtés de rhexagone se réduit à zéro , auquel cas la direction de ce côté est celle d'une tangente à la conique. Il résulte de là que : si les côtés d'un pentagone inscrit dans une conique sont numérotés 1,2, 3 , 4,5, le point de concours des côtés 2 et A, celui des côtés ^ et S et celui du côté 1 avec la tangente au sommet opposé seront tous trois en ligne droite,

!M5. On déduit facilement de ce qui précède le théorème suivant dû à M. Brianchon :

Les trois diagonales, qui joignent les sommets opposés d*tin heseagw^ circonscrit à une conique, passent par un même point.

En effet, soit un hexagone circonscrit à une conique; si Ton joint les ^into de contact de ses côtés avec la courbe , on formera un hexagcme i^lUcrit. D'après le théorème de Pascal , les points de rencontre des côtés Qlposés de cet hexagone inscrit sont en ligne droite ; donc les polaires de ces trois points passent par un même point. Biais ces polaires sont précisément les lignes qui joignent les sommets opposés de l'hexagone cireHi8eii)%jJie théorème est donc démontré.

IUmM|^. Ce théorème continue d'avoir lieu si un^|^iisieurs des angles de rhexagoOjB se réduisent à deux droits. Ce4te fHHiration coudait à quelques rÉHiarques curieuses, que le lecteur ifêl^bément luimême et que nous nous dispenserons de développer ici.