COURBE D*UNE ESPÈCE DONNÉE

!M^ On nomme généralement paramètres d'une courbe, d'une espèce donnée, les longueurs nécessaires pour la détermination complète de la courbe. Ainsi le cercle ne dépend que d'un seul paramètre qui est, à volonté, son rayon ou son diamètre; l'ellipse dépend de deux paramètres qui sont, si Ton veut, les longueurs de ses axes, etc.

Lorsqu'une courbe dépeiill (te m paramètres, dont on peut choisir à volonté les valeurs, on peut l'assujettir à m+3 conditions, par exemple à passer par m+3 points. En effet, quels que soient les axes que Ton ait choisis d'afiord pour y rapporter la courbe, axes que nous supposerons rectangulaires , l'équation de celle-ci renfermera les m paramètres dont elle dépend; en outre par une transformation de coordonnées, en mettant (x — o)cosa — (y— b)sinaau lieu de », (»— a)sina + (y— b)cosa au lien de y, on introduira trois nouvelles indéterminées a, & et a. On aon donc en tout m+3 arbitraires, et par suite on pourra établir m + 3 équations de condition entre les coefficients de la nouvelle équation de te courbe. En particulier, on pourra assujettir la courbe à passer par m+3 points; elle sera alors complètement déterminée.

Ainsi, il fànt quatre points pour déterminer une courbe qui ne dépend que d'nn seul paramètre ; tels sont les cas de la parabole , de l'hyperbole éqnilatère, etc. Mais le cercle fait une exception remarquable, il suffit en effet de trois points pour le déterminer. Il est aisé d'expliquer la cause de cette exception; car, ayant pris d'abord x* + y*= R* pour l'équation du cercle , si l'on met ( x—a) cos a — ( t/ — & ) sin a au lieu de «, et (â? — a) sin a + (y — h) cos a au lieu de y , la nouvelle équation («— a)* + (y— b)* = R* ne renferme aucune trace de a; cet angle s'est

éliminé de lui-même |)ar suite de la symétrie de la courbe autour de son centre; et, «m équation ne renfermant que trois 'arbitraires , le cercle ne peut être assujetti qu'à trois conditions. Les courbes du second degré, qne nous allons considérer exclusivement, dépendent de deux paramètres et peuvent être assujetties à cinq conditions. Mais si Ton établit d'avanoe une relation entre oes paramètres; en d'autres termes , si l'on considère, comme formant une espèce , les courbes du second degré dont les paramètres sont liés par la relation dont il s'agit , 11 suffira de quatn points pour les déterm||fier. C'est ainsi que la parabole ou l'hyperbole éqiâlatère sont déterminKS par Quatre points.

EXPRESSIONS ANALYTIQUES DES DIVERSES CONDITIONS ,'^lkîXQUELLES UNE COURBE DU SECOND DEGRÉ PEigr ÊTRE ASSUJETTIE.

HW. Point. On exprime immédiatement qu'un point est donné, en remplaçant a; et ]/ par les coordonnées de ce point dans l'équation de la courbe qu'on considère.

Tangente. Le moyen le plus simple, pour exprimer qu'une droite y=mx-i-neBi tangente à une courbe du second degré, consiste à éliminer y entre cette équation et l'équation de la courbe , et à exprimer que l'équation finale a pour premier membre un earré parfait.

Centre. On exprime qu'un point est le centre d'une courbe du seoend degré , en égalant à zéro les dérivées du premier membre deJ'équation proposée, et en y renq^laçant x et y par les coordonnées du i^nt donné.

Remarque, La donnée du centre équivaut à deux conditions.

Diamètre. On exprime qu'une droite donnée est un diamètre, en rempiaçant dans son équation x et y par les coordonnées du centre, dans les cas de l'ellipse et de l'hyperbole. Dans le cas de la parabole , on exprimen que la droite donnée est parallèle au diamètre qui divise en deux parties égales les cordes parallèles à l'un des axes.

Axe. On exprime qu'une droite donnée est un axe, en écrivant d'abord la condition pour qu'elle soit un diamètre ; puis , les axes de coordonnées étant supposés rectangulaires, si a désigne l'angle que fait la droite donnée avec l'axe des x, on égalera — tang2(x au coefficient du rectangle dans l'équation de la courbe divisé par la différence entre le coeficient de y* et le coefficient de x*.

Remarque, La donnée d'un axe , en position , équivaut à deux conditions.

Sommet. On exprime qu'un point est un sommet , en écrivant d'abord

que ce point est sur la courbe , puis que la tangente menée par ce même point est perpendiculaire au diamèl^ qui y passe.

FoTER ET Directrice. L'équation générale des courbes du second degré, qui ont pour foyer (x', y'), est en coordonnées recjtangulaires :

(aj-a;')« + (y-y')«-(te + my + n)«=0.

L'équation de la directrice est alors :

Lors donc qu'un foyer ou une directrice est donné dans une courbe du second degré , on doit prendre l'équation de cette courbe sous la forme précédente ; il ne reste plus alors que trois quantités indéterminées , et , par suite, la courl)e ne peut plus être assujettie qu'à trois conditions; de sorte que la connaissance du foyer ou de la directrice équivaut à la donnée de deux points.

Asymptote. Pour exprimer qu'une droite i/=tikv + n est asymptote d'une courbe du second degré, il suffit d'éliminer y entre cette équation et l'équation de la courbe, puis d'exprimer que les deu\ racines de l'équation finale ^nt infinies. En effet , l'équation de la courbe est nécessairement de la forme :

(y— nur — n) {y—m'x — n') + constante = 0;

si Von y fait y=:mx-{-n, elle ne renfermera ni terme en x* ni terme en x ; les deux, racines seront Ame infinies.

IMS. Ce qui précède permet de former facilement l'équation générale des coniques qui satisfont à une, deux, trois, quatre ou cinq conditions données. Cette équation renfermera quatre arbitraires dans le premier cas, trois dans le deuxième, deux dans le troisième , une seulement dans le quatrième ; dans le dernier cas la courbe sera déterminée.

Nous indiquerons encore une méthode très-coomiode pour résoudre les problèmes de ce genre et qui consiste dans la transformation des coordonnées. Cette méthode peut être employée avec avantage dans un grand nombre de cas; par exemple, si l'on propose de trouver l'équation générale des ellipses qui ont pour axes 2a et 25, on écrira d'abord l'équation de l'eUipae rapportée à ses axes et qui est :

a.V2 GÉOMIDTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS.

Mettant ensuite o^o+^cosa— ysinoi^ lieu de xet vo + ^sina-f ycoss au lieu de y , on aura Téquation demSmdée, savoir:

o* (Vo + i» 8ina+ï«08a)* + b« («0+* cosa— y aina)«=:a«6«.

Il reste tnKs indéterminées : jPo , t/o et a.

LIEUX GÉOMÉTRIQUES RELATIFS AUX COURBES DU SECOND DEGRÉ ASSUJETTIES A QUATRE CONDITIONS.

K L'équation générale des coniques, assujetties à quatre condi* tiens, ne renferme qu'une seule indéterminée; par conséquent les coordonnées du centre , ou des foyers , ou des sommets de ces courbes, ne contiennent elles-mêmes que cette seule indéterminée. Ëliminant donc cette indéterminée entre les équations qui déterminent soit le centre, soit les foyers, soit les sommets de la courbe, on obtiendra le lieu géométrique de ce point. Nous allons examiner quelques exemples.

990. Premier exemple. Trouver le Um des sommets des hyperboles, qui ont une asymptote et un foyer communs.

Prenons pour axe des y l'asymptote donnée, et pour axe des x la perpendiculaire abaissée du foyer donné sur l'asymptote; désignions par p la distance du foyer à cette asymptote. L'équation des hyperboles qui ont pour foyer le point F est:

y*+ (af— p)* — (to + my+n)*=0.

[ais, puisque l'axe des y est une asymptote , l^tf^g^ttion ne doit renfermer i terme en y* ni terme en y ; cela exige que l'on ait *

Mais ni

1 —m* =: 0 et — 2mn = 0; d'où

n=0 et m=l.

L'équation des hyperboles, qui satisfont aux conditions de l'énoncé, est donc en définitive :

(1) î/«+(aJ-p)» = (to+y)^

elle ne renferme que la seule arbitraire l. L'axe focal , passant par le foyer et étant perpendiculaire à la directrice 2x -f y = 0 , aura pour équation :

W . y=-[(ic-p).

Les sommets sont à l'intersection de la courbe avec Taxe: on aura donc le lieu de ces points en éliminiit { entre les équations (1) et (2), et supprimant de l'équation finale le facteur x^p qui ne donne rien; il vient:

991. Deuxième exemple. Trouver le lieu des foyers des hyperboles, qui ont une asymptote et un sommet communs.

Prenons pour axe des y l'asymptote donnée et pour axe des x la perpendiculaire abaissée du sommet donné sur Tasymptote. Désignons parp la distance du sommet à l'asymptote. Soient enfin x^ , y' les coordonnées de l'un des foyers. Pour que l'axe des y soit une asymptote de la courbe

il faut que Ton ait :

l.^m*=rO y'=— m», ce qui donne :

Féquation de la courbe est donc

(1^ (y-y')* + (a'-a'')* = (to4-y-y')*.

L'axe focal, passant par le foyer et étant perpendiculaire à la directrice

te4-y-y'=0, i

a pour équation :

(2) y.-y'=i(aj-«').

Les coordonnées dn sommet satisfont aux équations (1) et (2); on a donc :

y'«+(aî'-p)»=(y'-ip)*, y=i(p-«').

Eliminant l entre ces deux équations, on aura celle du lieu demandé qui est, après la suppression du facteur étranger «'—p et la substitution de x et y au lieu de x' et y':

▼ »-rp

Uà GÉOMÉTRIE ANÂLYTIQ^X dEUX DIMENSIONS.

•f S. TM>i8i^i>B ExiMPLB. TreuvÊf U Hiu g^>méPrique de* ftf^m et ia txmm^U dei hyperboles éqwlaiirei, qui ont même eentre et ^ passent par «n point donné.

Prenons le centre donné pour origine et pour axe polaire la droite fil | joint ce centre au point donné; désignons enfin par a la distance du centra tu point donné. L'équation générale dçs hyperboles équilatères satisbi* sant aux conditions de renoncé sera

a* cos 2 a

cos2((o — a)*'

« est le paramètre Tariable que doit renfermer réquation ; il est égal à Pangle formé par Taxe focal de l'hyperbole avec Taxe polaire. Faisant tts<, on aura évidemment le rayon vecteur du sommet qui est:

p*=0*COS2a;

et enfin si Ton met w au Uçu de a, (m &ar§ Véquation du lieu des sommets:

f<^a*cos2(i!ii

le rayon vecteur du foyer est évidemment égat k <^llt 4v I^BWml Wllfh plié par V/ 2 ; le lieu des foyers sera donc:

p« = 2cflcos2tù.

Les lieux que nous venons de trouver sont deux lemniscates. Il est wé de démontrer que la seconde coupe à angle droit toutes les hyperliola équilatères.

QuestUms proposées,

I. Trouver le lieu des foyers des parabole^ ()\ii oui xoàif^e sommet et un point commun ou une tangente commune.

II. Trouver le lieu des sommets des paraboles qui ont même foyer ^ UB point commun ou une tangente commune.

Hl. Trouver le lieu des foyers et des sommets des partinHes qui ont même directrice et un point commun ou une tangente commune.

IV. Trouver le lieu des somqiet^ ou des foyers des paraboles qui ont même paramètre et deux points coïj^^ns eu deux tangentes communeit

APPENDICE. iU

T.Troiiter I0 lieo des settiméts, des foyers, des centres des ellipses êomiaiseaiit deux tangentes avee leur point de contact.

fl. TrooTer le lieu des centres des coniques qui passent par quatre p(^t8 ou qui sont tangentes à quatre droites.

TIl* Trouver le lieu des foyers d'une ellipse, connaissant la oentrtf 1 un fiitil et la longueur du grand axe.

DÉTfBlilNA'qON pÊ LA CONIQUE QUI PASSE PAR CINQ POINTS, OU QUI KST TANGENTE A CINQ DROITES DONNÉES.

MS. On peut trouTer , parce qui précède, Téquation de la conique assujettie à cinq conditions , et cette équation peut servir ensuite à construire la courbe. Dans bien des cas, on peut simplifier la solution à Taide de considérations particulières; mais , à cet égard, on ne peut poser aucun principe général. Nous nous lK)rnerons ici à indiquer comment on yint eonetruire la conique qui passe par cinq points, ou qui est tangente à Ginq droites données.