Construire la conique qui passe par cinq points donnés

Soient A, B, G, D, E, les cinq points par lesquels il faut faire passer une iltiqae t le théorème de Pascal permet de construire autant de points tt'on voudra de la courbe. Par exemple, si par Tun quelconque des points Mimés A(fig. 142), on mène une droite quelconque AP, on aura, comme il suit, le point F où cette ligne AF rencontre la courbe cheriMl. On joindra AB, BG, CD, DE; soit 1 le point de rencontre de A6 et de DE , H le point de rencontre de CD avec AF et enfin K le point êê feneontre de BG ei de la droite IH ; si l'on joint KE , cette droite lencontrera AF au point cherché F.

En second lieu , on peut construire aisément la tangente en un quelconque des pointa donnés, ou déterminés comme il yient d'être dit; car supposons qu'il s'agisse de mener la tangente en A, on prolongera AB et DE jusqu'à leur rencontre en 1, BG et AE jusqu'à leur rencontre en N, pn joindra IN qui coupera en P le côté GD prolongé; enfin on joindra PA qui sera la tangente demandée.

En troisième lieu , on peut déterminer les éléments de la conique qui pourra alors être construite, conune il a été indiqué dans un chapitre précédent.

Par ^s trois points A, B, G (Qg. 143), menons les tangentes à la courbe; irolongeons les tangentes en A et B jusqu'à leur point de rencontre G ; par oe dernier point et par le milieu M de la corde àB , tirons le diamètre GM ; tirons de même un second diamètre HN par le point de rencontre H des

366 GÉOMÉTRIE ilNALYTlQUE Â DEUX MMENSIONS.

tangentes en B et G et le milieu N de la corde BG. Si la courbe est une ellipse ou one hyperbole , ces deux diamètres se rencontreront en un point qui sera le centre de la courbe ; si ces deux diamètres sont parallèles, la courbe sera une parabole.

Supposons que la courbe ait un centre ; par ce point menons LL' parallèle à la corde AB; les deux dismètres GM et LL' seront conjugués; par le point  menons ÂP parallèle à GM ; AM et AP seront les deux coordonnées du point A rapporté aux diamètres GM et LL'.

Si la couibe est une ellipse, la tangente en A rencontrera les diamètres GM, LL' en deux points situés respectivement du même côté du centre que les points M et P ; et on aura les demi-longueurs> de ces diamètres en prenant deux moyennes proportionnelles, Tune entre OG et (NI, -. ... et l'autre entre OQ et OP.

Dg. 143.

Si la courbe est une hyperbole, la tangente en A rencontrera les diamètres GM, LL' en deux points situés l'un du même côté du centre W les points M et P, l'autre du côté opposé. On construira les longneon des demi-diamètres comme pour Tellipse.

On déterminera ensuite, dans ces deux cas, les axes de la conAe d'après les méthodes indiquées n^* 156 «et 194.

Si la courbe est une parabole, on connaît un diamètre, la direction des cordes conjuguées, un point de la courbe et la tangente en ce point; on pourra donc déterminer le point de rencontre de la courbe et du diamètre, puis la distance de ce point au foyer, puis enfin le foyer et le sommet.

995. Construire la conique tangente à cinq droites données. Ce problème se ramène au précédent, en déterminant les points de contact des tangentes. Soit ÂBGDE le pentagone formé par les cinq tangentes données; menons les diagonales AG et EB qui ae eoopent en 0 et tirons la droite DO ; elle ira passer par le point de contact M du côté AB. En effet, si l'on circonscrit d'abord à la conique un hexagone ayant pour côtés AE, AE , DG , BG , et qu'on réduise ensuite à deux droits l'angle dont le sommet F est placé entre A et B, les deux côtés adjacents coïncideront avec AB , et les deux points de contact se réuniront en F. On déterminera de la même manière les autres pointa de contact.

EXERCICES

Queitùms à rétoudre,

I. Gonstroire une ellipse, connaissant un foyer et trois points, ou une directrice et trois points.

n. Construire une ellipse, connaissant un foyer et trois tangentes.

III. Construire une ellipse, connaissant un foyer, un point et deux tangentes.

IV. Construire une hyperbole, connaissant une asymptote, un foyer et un point ou une tangente.

y. Construire une parabole, connaissant le foyer et deux points; ou le foyer et deux tangentes; ou le foyer, un point et une tangente. YI. Construire la parabole qui passe par quatre points donnés.

DE LA SmiUTUDE.

990. Considérons deux courbes C et G' situées dans le même plan , ou dans de» plans parallèles. Soit 0 un point quelconque du plan de la courbe C et OM, OM', CM",... différents rayons vecteurs de cette courbe; si dans le plan de la courbe C| on peut trouver un point 0| tel que les

rayons vecteurs 0|M|, OiM'i de cette courbe respectivement paral*

Ulea à OM,OM' soient tels que l'on ait :