QQ')=:(MM
si Ton désigne par p la distance MM' et par les notations (X^r), (Da?) les angles formés par la droite OX avec Taxe Ox et avec la droite D, l'équation précédente deviendra :
(x — x') cos [Xx) = p cos (DX).
On voit^ d'après cela, que si Ton considère deux autres droites OT^ OZ respectivement perpendiculaires aux plans xz et rpy^ on aura :
(a?— a?')cos(Xa?) (y— V)cos(Yy) __ (jg— Jt'jcos^Zg) cos(DX) "■ cos(DY) ■" cos(DZ) '
car chacune de ces trois quantités exprime la distance p.
Deux quelocniques, des équations renfermées dans la formule précédente^ peuvent être prises pour celles de la droite. Dans le cas des axes rectangulaires, les équations de la droite D peuvent s'émre :
X — oi y — y'^.^ — *'
COSa C0S6 COSY ^
en désignant par a, 6, y ^^ angles que forme Fune des directions de cette droite avec les axes des coordonnées.
SOS. Supposons maintenant qu^il s'agisse de trouver les équations de la droite qui passe par deux points donnés (^, y', z') , (a/', y", z'% La droite passant par le point {x^, y*, «') aura des équations de la forme :
x^xf^aiz—z'), y—i/' = b{z—z'),
quels que soient les axes des coordonnées. Msds^ puisque cette droite passe par le point (ar", y", z'% on aura :
a/'—af^a[z'—z'); y"— y =&(«"— jz');
d'où l'on tire :
Les équations de la droite demandée sont donc :
SM GÉOBfitTRIE ANALYTIQUK A TB016 DIMENSIONS.
DETERMINER LE POINT D^INTERSECTION DE DEUX miOITKS DONT ON CONNAIT IiES iQUATÎONS..
30S.6oi6i)t et
Ifig équations des deux droitoi données* Si ces droltas se coupent^ les coordonnées de leur point d'interaecticm davrottt vérifier les quatre équations (1) et (2)^ ce qui exige qu'on ait la condition :
Si cette condition a lieu , on aura rint(^[*section deoiAQdée en tirant les valeurs de x^y, z de trois quelconques d^ équations (1) et (2).
'^Ï^V FAIRE PASSER UN PLAN: 1° PAR TROIS POINTS DONNES; 2** PAR UN POINT DOïmé, PARALLÈLfiMENt A tJN PLAN DONNÉ; 3® PAR UN POINT BT PAR un DROITV D01WB8«
504. Supposons qu'il s'agisse de faire passer un plan par trois points donnés [x% y', /) , (aï", y% z^) , {x'\y'"^ z""). Soit
(1) Ax+By + C^+DteO,
réquation du plan demandé. Ce plan passant par le point {x',y',z'), on aura :|
AaZ + By+Cl' + DsrO;
m U LIGNE DROITE ET DU PLAN. m
tirant de cette équation la valeur de D, pour la porter dans l'équation (1), celle-ci devient :
(2) A(a?— a^O+Bty— îO+C(«-«')=»;
elle est alors l'équation générale des plans qui passent par le point {afy %/y n^). Mais, puisque le plan représenté par Téquation (2) doit contenir le point (a/', y", z'^ , on aura :
A[a/'-^af)+B{f—y') + G[zf'—z')=0',
si Voa tire de cette équation la valeur de B pour la porter dans l'équation (2) , il vient :
(3) k[(r-y'){x-af)-{x'^-oc'){y-y')]
cdie équation (3) est celle des plans qui passent par deux points donnés. Si le plan qu'elle représente passe en outre par le point («", y"', z^, on aura :
si Ton tire de cette équation la valeur de  pour la porter dans l'équation (3) , û vient :
{f-y^){x"'^a/)—{x^^—af){y'"—y')
Telle est l'équation du plan qui passe par les trois points donnés.
Remarqua. Il est aisé de s'assurer que cette équation se
tm GÉOMËTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS.
réduit à ime identité dans le cas où les trois points donnés sont en ligne droite , auquel cas le problème est indéta*miné.
508. Nous allons traiter par d'autres considérations le cas particulier, où il s'agit de faire passer un plan par trois points respectivement donnés sur les trois axes ; cela revient à trouver l'équation d'un plan^ connaissant les points où il coupe les axes des coordonnées. Soit
l'équation du plan; si l'on y bit y = 0 et jr = 0, il vient â?= — -; nous désignerons par a cette valeur de a; qui
est donnée, et l'on aura : A = : on trouvera de même:
B = — -, 0 = ; b et c étant des quantités données.
Mettant pour A, B, C ces valeurs dans l'équation du plan^ il vient :
abc
L'équation du plan sous cette forme est souvent employée. 306. Si deux plans
(i) Aa?4-By+Cjj + D=:0,
(2) A:x + B'y+Gz+jy=0,
sont parallèles , leurs traces sur les plans coordonnés sont aussi parallèles. Les traces des plans (1) et (2) sur le plan x}i ont pour équations :
Ar+By + D=0, -f A'ir + B'y + iy=:0;
pour que ces deux droites soient parallèles > il faut et il suffit que Fon ait :
On peut conclure de suite que si les plans (1) et (2) sont parallèles^ on a ;
Réciproquement^ si ces conditions ont lieu^ les plans (i) et {¥j sont parallèles ^ puisqu'ils contiennent respectivement deux angles dont les côtés sont parallèles.
En résumé ^ pour que deux plans soient parallèles^ il faut et il suffit que les coefficients des variables soient proportionnels; et) comme on est maître de disposer à volonté de Tun des coefficients^ on peut dire que les conditions du parallélisme de deux plans consistent dans Tégalité des coefficients des variables. Cela posé^ supposons qu'il s'agisse de mener par un point (afy y' y si) un plan parallèle à un plan donné
Ar+By + C«+D=0.
D'après ce qui précède , le plan demandé aura une équation de la forme :
Aa?+By+Cl?+D'=0.
On déterminera D' par la condition que le plan demandé passe par le point (aiifi/jz!), et alors l'équation de ce plan sera :
