CHAPITRE ly

ELIAS SE DIVISENT EN DEUX CLASSES : LES UNES ONT UN CENTRE^ LES AUTRES n'en ONT PAS. COORDONNEES DU CENTRE.

521 • On nomme centre d'une surface un point qui divise en deux parties égales toutes les c(Hdes qui y passent.

Théoràhe. Si un centre d^une surface est pris pour origine des coordonnées rectilignes^ Véqtuition de cette surface ne change pas lorsqu'on y remplace x^y^z par — a?, — y, — z.

Réciproquement, si V équation d'une surface ne change pas lorsqu'on y remplace x^y^ z par — x^ — y y — z, Porigim 4$$ coordonnées est un centre de la surface.

V Supposons que Forigine 0 (fig. i58) soit un centra

d'unesurface;joignons M un point quelconque M

de la surface au centre 0, et prdongeons OM d'une quantité OM' = OM; le point M' sera aussi un point de la surface. De plus , si l'on mène les eoor-* données MP^MT* parallèles à Taxe des z , flg. m, PQ, P'O' parallèles à

466 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A ttiOlg DIMENSIONS.

Taxe des y^ enfin que Ton joigne OP et OF, les points P, 0, F seront en ligne droite et les triangles MOP, M'OP seront égaux. Cela montre d'abord que les coordonnées z des points M et M' sont égales et de signes contraires, puis que OP et OF sont égales. Alors les triangles PQO, FÇ^O sont égaux ; d'^où il suit que les coordonnées â? et y du point M sont égales et de signes contraires à celles du point M'. On voit par là que^ si l'équation de la sur&ce admet une solution telle que x=a, y:=^6, ^=T> ^11^ admettra aussi la solution x= — «? y = — 6> «= — 1> en d'autres termes^ cette équation^ et celle qu'on en déduit par le chan- ^emerit dex,y^z en -^x, — y, — z, admettront les mêmes solutions^ ce qcii démontï*e la première partie du théorème énoncé.

^ Supposons que l'équation d'une surface ne soit pas altérée par le changement de àc^y^z en — x", — ^y, — i. 81 cette équation admet la solution a:=a^ y=6, J8=f , elle admettra aussi^ par hypothèse, la solution a?=:-r-a, y= — S, 2 = — f. Soient M et M' (fig. i58) les denx poiiits qiiî ont rèspectivement pour coordonnées a, 6, y, et — a, -^6, — y> menons MP,MF parallèles à Oz, PQ,FQ' parallèles à Oy, tirons enfin OP et OF, OM et OM'. Il est aisé de voir que les triangles PQO,P'Q'0 sont égaux j d'où Fon conclut que OP =^0P' et que POF est une ligne droite. D'après cela, les triangles MOP, M'OF sont égaux 3 d'où il suit que OM=:OM' et que MOM' est une ligne droite; ce qui démontre la deuxième partie du théorème énoncé. , Remarque. Si, en particulier, un centre d'une surface algébrique est pris pour origine des coordonnées, les degrés des termes que renferme l'équation de cette sur&ce seront tous pairs ou tous impairs et réciproquement. Ceci suppose, bien entendu , que féquation soit préparée de manière que l'un

SURFACES DU SECOND DEGRÉ. Wï

de ses membres soit nul^ et que l'autre membre soit une fonction entière des coordonnées.

52â. D'après le théorème qu'on vient d'établir, il suffira, pour trouver le centre ou les centres d'une surface^ de transporter tes axes parallèlement à euxnnémes, de manière que l'origine prenne une position indéterminée , puis de disposer des coordonnées de cette origine pour satisfaire , s'il est pos* sible, à la condition que nous avons reconnue être nécessaire et suffisante. Nous allons faire l'application de cette théorie aux surfoces du second degré.

5S3. L'équation la plus générale du second degré à trois variables peut être mise sous la forme

(i) Ax^ + Ay + A'z* + mjz + Wxz + 2W'xy + ^Cx

Si l'on transporte les axes parallèlement à eux-mêmes, de manière que l'origine soit en un point indéterminé (a/, ff^sfj; il faudra remplacer dans l'équation (1) x par a?-j- a?', y par y +y' eizps^v z-{'Z'; cette équation devient alors :

(2) Ax^ + AY + A"z* + ^Byz + ^B'xz + ^W'xy+9€,,x

+ 2G\y + 2CV+Ki=0,

en faisant^ pour abréger,

G, =Ax' + B'z'+By + Cy C\ r=Ay+Bz'+BV+C', C", = A V -I- By' -j- B V -f- C% K, =Aa?'«+Ay«-|-AV« + my'z' + Wx'z'+ 2BVy'+ 2Ga/+ 2Gy + Wi + K.

Pour que la nouvelle origine soit un centre de la sur&ce, il feut et il suffit {n« 321) que l'on ait :

Cj=:0, C\=0^ C'',=0;

c*est-à-dire que les coordoonées sf^jf^ai satisCsussent aux trois éqpations :

Ikx +B«z + B"y+C=0, Wx+k:y+^z + G=0, "Bx +By + A"z + C"=0.

Ces équations, qui détermii^ent les coordonnées du centre, peuvent s'obtenir, comme il est aisé de s'en assurer^ enflant à zéro les dérivées du premier membi6 de l'équation (1) prises par rapport à a;, à y et à js. Résolvons les équations (3) par rapport à Xy y, z, on aura :

en faisant pour abréger

D =AB«+A'B'* + A"B"*— AA'A"— 2BBB",

N — C(A'A"— B') + C(BB'— B"A'0 + nBB"— B'A), N' = G'(AA^— B'«) + G\BV' — BA) + C(BB'— B'^A") , N"= C"(AA'— B''«) + C(BB" — B'A') + qB'B" — BA). .

Trois cas peuvent se présenter.

1"* Si le dénominateur D est différent de zéro, les valeurs de Xy y, z sont réelles et finies; par suite la surface, représentée par l'équation (1) , admet un centre unique.

2^ Si le dénominateur D est nul, et que les numérateurs N,N', N" ne soient pas nuls tous trois, Tune au moins des coordonnées du centre est infinie et par suite la surface représentée par réquation (1) n'a pas de centre.

3** Si le dénominateur D et les trois numérateurs N,N',H"

sont nuls^ les valeurs de x, y, a se présentent sous la formé - -,

par suite, les équations (3) se réduisent à deux équations dis^ tîfiçtes^ ou ménie à une seule; et alors la surface *repré* sentée par l'équation (i) admet une infinité de centres.

594. Lorsque les équations (3) se réduisent à deux équations distinctes, la surface représentée par l'équation (1) est un cylindre à base^lliptique ou hyperbolique. En effets dans le cas4ont il s':agit, la surface (1) a une infinité de centres situés sur une ligne droite. Soient AB cette droite (fig. 159) et M un

point quelconque dé la surface représentée par Féquation (1).

Joignons le point M aux difiérents points 1,1',.- de AB et prolongeons le3 droites ainsi obtenues en N, N',... de manière que Ton aitMI=IN... les points N, N'... seront sur une ligne droite parallèle à AB et cette droite sera évidemment tout entière sur la surface que nous considérons. Si l'on joint de même un point quelconque N de NN'. aux différents points 1,1... de AB et que Pon prolonge ces lignes de quantités égales, les points M^ M'... ainsi obtenus formercmt une seconde droite parallèle à AB et qui sera tout entière sur la surface. Il résulte de là que tout plan, mené -par AB, coupe la surface (1) suivant deux droites parallèles à AB et qui en sont équidistantes. La surface que nous considérons est donc un cylindre dont les génératrices sont parallèles à AB. Enfin je dis que la base de ce cylindre est une dlîpse ou une hyperbole; en effet, si l'on mène par un point quelconque I de AB un plan quelconque, qui ne contienne pas ÂB, ce plan coupera la surface suivant Une courbe du second degréqui aura évidemment le point l pour centre.

410 GÉOMÉTRIE AHALYTIQOE A TROIS OIMÈHSIONS.

3Sâ. Si les équations (3) se réduisent à une seule, la surface représentée par l'équation (1) est formée de deux plans parallèles. En effet, dans ce cas, la surface (i) a nne itàM de centres, qui sont situés dans un même plan P. Soit H (fig. 160) un point quelconque de la surfece représentée par l'équation (1); joignons oe point ani différants points 1,1',!",,.. du plant* et prolongeons les droites MI,W, MI",... de quantités égales lN,nf, I"N". . . . , les potnls N, N', N", . . . serori datis un même plan R parallèle an plan P et ue plan fera évidenunoit partie de la surface (j). Si l'on joint de même un point quelconque N du plan R aux. différents points l,r, r,..., du plan P et que l'on prolonge Bg. lao. de quantités égales les droites NI, HT,

NI" les points MiM'^M",.--, ainsi obtenus serontsuran

second ptan Q paraHèle au plan P et qui fêr& partie de la surface représentée par l'équation (1). Je dis de plus que cette surface ne peut avoir aucun point situé hors des plansQ ou R; car , ^ un pareil point existait , en menant par ce point une droite coupant les plans Q et R, cette droite rencontrerait la surfoce en trois points, sans y être contenue tout entière, ce qui est impossible. On voit en résumé que l'éqoation (1) représente deux plans, parallèles au plan qiii contieat les centres et équldistants de celui-ci.

DES PLANS DIIHBTRADI.

320. On nomme plan diamétral d'une suriaee , un fdin qai divise en deux poulies égalfs toutes les cordes paritlulês

StJBFAGES DU SECOND DEGRÉ. 411

à niie même droite. Noas allons démoùtrer c(ue^ dans une sutface da second degrés Sexiste un plan diàmétrd pour chaque systèHie de cordes parallèles ; nous dotinéroïïs en hiënië tëm|is le irioyeii de trouver son équation.

S6ît

kx' 4- Ay + M'z' + 2Bj/z -h 2B'a?z -J- Wl'xy + 2Car

ou , pour abréger,

l'équation d'une surface du second degré ; soient

les équations d'une droite, menée par l'origine, parallèle^ ment aux cordes que nous voulons considérer. Désignoiis par x'yify z' les coordonnées du milieu de cette corde. Si Ton transporte les axes parallèlement à eùx-mémes, de manière que Torigine coïncide avec ce point milieu, l'équation de notre surface deviendra :

(2) . f[x + x\y + y',zJr^')=^y

et celles de la corde , que nous considérons, seront évidentment :

(3) a; = iwi, y=znz.

n suit de là que Téquation du second degré en z

(4) f(mz+af, WJ5+J/', z + «')=0,

qu'on obtient en éliminant a? et y entre (2) et (3) ^ aura pour racines les coordonnées z des points d'intersedion de là sur-

fooe et de la corde ; mais^ comme ces coordonnées soni égales et de signes contraires j^ l'équation (4) ne doit pas renfemier la première puissance de js* Égalant dràc à zéro le coefficient du terme du premier degré dans l'équation (i), on obtiendca une équation en œ', %f, z'y m et n qui représentera le lieu des milieux dçs cordes parallèles à la direction donnée. On trouve, en ûtisant le calcul^ que cette équation ^ :

(Am+B'+B"n)x'+{A'n+B+B"m)»'+(A"+Bii+ffmK

ou^ en supprimant les accents^

(Am+B'+B"n)j:+(A'n+ B +B"m)y + (A"+ Bn + B'm)^

+ Cm + G'n + C"=0,

Cette équaUon est du premier degré; elle représente donc un plan y comme on l'avait annoncé.

327. Si Fon représente par X, Y et Z les dérivées du premi^ membre de Féquation (i) par rappo^rt à â;,y,2) l'équation que nous venons de trouver prend la forme trèssimple :

(5) mX + nY + Z=0;

c'est l'équation générale des plans diamétraux.

Les plans diamétraux, qui correspondent aux cordes parallèles aux axes des x, des y et des z, s'obtiendront en fai-

n \ ml

sant — = 0 et — = 0, puis — = 0 et - = 0, puis enfin m m n n .

m=0, n=0. Il vient ainsi :

ces trois dernières équations sont précisément celles qui dé-

SURFACES DU SEdOND DEGRÉ. 413

tennineni les coordonnées du centre^ lorsqu'elles sont satisfaites^ l'équation générale des plans diamétraux est également satisfaite^ quels que soient m et.n. Il s'ensuit que^ dans les sur&ces à centre ^ tous les plans diamétraux passent par le centre. U est facile de démontrer que récip;*oquement tout plan qui passe par le centre est un plan diamétral. Dans les surfaces dénuées de centre^ les équations

représentent trois plans qui se coupent en un point situé à l'infini. Si deux de ces trois plans se coupent^ leur intersection est parallèle au troisième ^ par suite ils sont parallèles à une même droite -, dans le cas contraire ils sont parallèles à un même plan.

Supposons le premier cas et soit D la droite à laquelle les plans (6) sont parallèles. Je dis que tous les plans diamétraux seront parallèles à la droite D. En effet ^ les valeurs de x, y, z, qui satisfont à Féquation (5) et à deux quelconques des équations (6) , sont infinies ; car autrement on satisferait aux équa«tions (6) par des valeurs finies de x, y, z. Le plan (5) est donc parallèle a la droite D qui est représentée par deux des équations (6).

Si au contraire les plans (6) sont parallèles , il est clair que tous les plans (5) le sont aussi f puisque les coefficients des variables x, y, z dans les équations (5) et (6) sont proportionnels.

Des plans principaux.

328. On nonune plan principal un plan diamétral qui est perpendiculaire aux cordes qu'il divise en deux parties égales; celles-ci sont dites cardes principales. Nous allons établir que,

414 GÉOMÉTME ANALYTIQUE À mm MMENSIOHS.

dans toute surface du second degré ^ il existe au moins un plan prindpal.

Soit

réquation d'une surface du second degrés rapportée à trois axes que nous supposerons ici rectangulaires. Soient

les équations d'une droite quelconque. L'équation du plan diamétral^ correspondant à cette droite^ sera :

(8) (Am+B'+B'Vi)a:4.(A'n+B+B''m)y+{A''+Bn4«'jf^^

lies conditions de perpeadicularité de la droite {%) 4 ||)i plan (3) sont :

Am + B+Bn A»+B + B"m A" + Bn + Bm ^ ' m n 1 '

désignons par s la valeur commune de ces trois rapports, on aura :

!(A— «)m + B''n + B' = 0, B"m + (A'— «)n + B = 0, B'm-J-Bn + (A"— «) = 0.

Si Ton éliminQ ni et n entre ces trois équations, il vient :

(,A)(«— A')(«— A")— BV— A)— B'«(s— A') ' — B"*(8 — A") — âBB'B'^ = 0 ,

SURF4C£S DU SECOND. DEGBÉ.. 41^

OU, en .df^v.eIopi)ant ,

(6) ««(A+A'+'A'>*+(AA'— B^+AA^— B'»4A'A"— B*)s + (AB*+A'B'* + A'^''«— AA'A"— 2BB'B'0 = O.

Cette équation (6) y qui est du troisième degré, a nécessairement une racine réelle s. A cette racine correspondent des valeurs réelles de m et de n qu'on peut tirer de deux quelconqpes des équations (5). On obtient ainsi l'éqi^ation 4'un plan principal qui est, en se rappelant que chaç^ de$ ^apports (4) a pour valeur s :

s{mx+ny+z) + Gm+Cn+G'=0.

Si a, 6, Y dé^gnent les angles que forment la droitç t?) î^vec les axes, l'équation du même plan peut s'écrire

#(a?cosa+î/cos6 -f ^cosYJ + C cos a +C'cos6+G"cosY=0.

L'e)LJistence d'un plan principal est ainsi démontrée popr tous les œs; cela suffit pour l'objet que nous avons en vue; les détails importants, qu'il reste à faire connaître, se déduirqnt de la manière via plus simple des considérjations qui vont suivre. Reniarquons toutefois que le plan principal, troiivé l^récédenunent, peut être situé à une distance in^nie de Tç^igine des coordonnées ; mais ceci ne peut avoir l^eu q^ cJiejB les surfaces dénuées de centre ; car, dans les autres , tous les plans diamétraux passent par le centre.

Si;|rUFI€ATION DB {.'ÉQUATION G|bÉàAL« DU ««CQNP W^i PAR LA TRANSFORMATION DES GOORDONNéBS.

Surfaces à centre.

5SS9. Considérons une surface du second degré à centre,

416 GÉOMÉTRIE ANALYTIQOfi A TROIS i)IMENSIOMS.

et rapportons-la à trois axes rectMigulaires quelcQ0qaes. Uéquaiion de oejyie surface aura la forme :

(i) Aj?»4-Ay+AV+2Byz4-2BW + 2B^j(?y +2C^ + 2C'y+2C"ji+K=0.

On peut faire disparaître les t^*mes dû premier degrés en tranq)ortant les axes parallèlement à eux-mémies au centré de la surface ou à Tun de ses centres . si elle en a une infinité. Son équation prend alors la forme :

(2) Ax» + Ay + AV+2Byz+2B'irz-f-2B"a:»+Ki=0.

Cela posé, effectuons. une nouvelle transformation de coordonnées ; prenons trois nouveaux axÀ rectangulaires^ ayant même origine que les précédents et tels que le nouveau plan jpy coïncide avec le plan principal dont nous avons reconnu l'existence (n** 328). B est évident que la nouvelle équation de la surface doit être telle que les deux valeurs de jc ^ qu'on en déduit, soient égales et de signes contraires; pat* suite cette équation ne renfermera pas les rectangles x% et yjr. Enfin (m pourra faire disparaître le troisiènie rectangle xy , en foisant tourner les axes des a; et des y dans leur plan ^ sans altérer leur perpendicularité. Alors la surface que nous considérons sera représentée par une équation de la fonme :

(3) Pa;« + Py + PV=H,

où 07, y, j? désignent des coordonnées rectangulaires. Cette équation comprend toutes les surfaces qui ont un centre ou une infinité de centres.

330. Il existe une infinité de systèmes d'axes obliques, pour lesquels Téquation d'une suriîace à centre est de la forme :

Pj?*+Py+PV=H.

En effets si Ton prend trois axes quelconques passant par le centre de la surfeur, Téquation ne renfermera pas de termes du premier degré) si , en outre ^ on fait coïncider Taxe des x avec la direction des cordes que le plan xy divise en parties égales, il est évident qu'on fera disparaître les rectangles xs et yZé Enfin on fera disparaître le dernier rectangle ity, en déplaçant convenablement les axes des x et des y dans leijdr plan; ce qui démontre là proposition énoncée. Lorsque Téquation d'une surface à centre est ainsi réduite, le» trois plans coordonnés forment un système de plans diamétraux conju' gués } le plan qui contient deux quelconques des axes divise en deux parties égales les cordes parallèles au troisième axe.

Surfaces dénuées de centre.