COMPLÉMENT DE LA THÉORIE DES SURFACES DU SECOND DEGRÉ
DISCUSSION d'uNB ISQUATION DU SECOND DECRIS k TROIS .VARIABLES*
569. Nous nous proposons de montrer, dans ce chapitre, comment on peut déterminer la nature de la surface représentée par une équation numérique du second d^é à troi? variables.
Soit à étudier la surface représentée par Téquation :
Aa;*4-Ay4-AV+2Byjr+2B'xx+2B"a?y
On commencera par former les équations qui détermi^^l^nt les coordonnées du centre ; trois cas peuvent se présenter :
1° n y a un centre unique; la surface est alors un ellipsoïde , un hyperboloïde à une ou deux nappes ou un cône;
2** Il y a un nombre infini de centres en ligne droite ou situés sur un même plan; la surface est alors un cylin4ré à base elliptique ou hyperbolique , ou le système de deux plan3 parallèles ;
3" Il n'y a pas de .centre. La surface est alors un pjaraboloide elliptique ou hyperbolique ou un cylindre parabolique.
Nous examinerons successivement ces trois cas.
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Surfacei qui ont un centre.
370. Lcmqu'on se sera assuré qu'il existe un centre unique; pour connaître la nature de la siur&oe^ on résoudra l'équation proposée par rapport à l'une des coordonnées dont le carré figure dans l'équation; si x est^ par exemple^ cette coordonuée^ on aura une expression de la forme :
x=mx+ny+p±ij'4xy*+bxy+cx*+dy'\'ex+f.
Les points du plan xy, sur lesquels se projette la surface, sont définis par l'inégalité :
ay* + bxy+cx*+dy+ex']-f>0.
L'espace recouvert par ces points est séparé du reste du plan par la couii)e dont l'équation est
Trois cas peuvent se présenter :
1* Cette courbe est une ellipse;
2* Cette courbe est une hyperbole ;
3® Cette courbe est imaginaire.
II est évident qu'elle ne peut jamais être une parabole; car les coordonnées x et y de son centre sont les mêmes que les coordonnées a? et y du centre de la surface.
371. Si la courbe est une ellipse, la surface se projette à l'intérieur ou à l'extérieur d'une ellipse; on saura lequel de ces cas se présente en cherchant si^ pour les valeurs de x et de y qui correspondent au centre de la surface , la valeur de z est réelle ou imaginaire : or il est clair qu'une surface du second degré à centre , qui se projette dans Vintérieur d'une ellipse,
COMPLÉMENT DE LÀ THÉORIE DESiSURFACÊS DU II* DEGRÉ. 461
est un ellipsoïde; et une surface, qui se projette 4 Pextérieur d'une ellipse, est évidemment un hyperboloïde dune nappe.
Si la courbe est une hyperbole, la surface se projette à l'intérieur ou dans la partie extérieure à l'hyperbole ( nous nommons partie extérieure à Thypeiijole celle qui est du même côté que le* centre) ^ on saura lequel de ces cas se présente en cherchant si , pour les valeurs de a? et de y qui correspondent au centre de la surface , la valeur de z est réelle ou imaginante. Or, il est évident qu'une surface du second degré à centre, qui se projette sur la partie du plan eiÂérieure à une hyperbole, est un hyperboloïde à une nappe; et que celle, qui se projette sur la partie intérieure, est un hyperbih loîde d deux nappes.
Si la courbe est imaginaire , Texpressicm qui, dans là valeur dez, figure sous un radical, est toujours positive ou toujours négative, quelles que soient les valeurs de à; et de j^. Dans le premier cas, la surface se compose de dent nappes distinctes séparées par le plan diamétral z=mX'\'ny-\-p; elle est un hyperboloïde à deux nappes. Dans le Second cas la surface est imaginah*e.
Dans la discussion qui précède nous avons omis deux cas particuliers qu'il est bon d'indiquer.
L'ellipse, à l'extérieur ou à l'intérieur de laquelle la surface se projette, peut se réduire à un point ^ la surface est alors un cône ou un point.
L'hyperbole, qui sert de limite à la projection^ peut se réduire à deux droites; la surface est alors un cône.
378. Mais il existe un dernier cas qui reste en dehors de notre discussion et que nous devons traiter actu^ement. C^est celui où l'équation , ne renfermant le carré d'aucune coordonnée, ne pourrait fournir, pour aucune d'elles, une expression de la forme admise plus haut. L'équation proposée
m GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS.
est alors de la forme :
2Bïjr+ffl'arx+2B"a:y+2Cx+2G'y+2C''jjr+F=0.
Dans ce cas^ si Ton résout réquation par rapport à x, on obtient une expression rationnelle ^ et par suite toujours rédle, et la surlace recouvre le plan â^y de sa projection; car, pour toutes les valeurs de x et de y, on aura une valeur rédle de x. L'ellipsoïde ne pouvant évidemment présenter ce caractère^ nous avons à décider entre l'hyperboloïde à une ou à deux nappes.
Or, c'est ce que l'on peut faire au moyen du théorème suivant :
Tbeorème. Toute droite qui ne rencontre fu'eti un uul poini un hyperboloïde à une nappe est parallèle à une génératrice recHligne de la surface.
Prenons Téquation de Thyperboloïde à une nappe sous la forme
soient
x=mz+p, y = nz + qy
les équations d'une droite. En éliminant j? et y entre les équations de cette droite et celle de la surface, il vient :
La condition pour que la droite rencontre la sur&ce en un seul point est :
