COMPLÉMENT DE LA THÉORIE DES SURFACES DU II* DEGRÉ

or cette équation exprime évidemment que la droite qui a pour équations :

est située sur le cône

Donc lorsqu'une droite ne rencontre l'hyperboloîde qu'en un point y elle est parallèle à l'une des génératrices dii cône asymptote et par suite à une génératrice de Thyperboloïde. On déduit immédiatement de ce théorème que : Si une équation du second degré, qui ne renferme pas le carré de z, représente un hyperboloïde d une nappe, l'axe des X est parallèle à l'une des génératrices reclilignes de la surface.

D'après ce qui précède ^ pour savoir si l'équation

StBs« + 2B'a?«+2B''a?y + 2(li? + 2C'y + 2G'';5 + F==0,

représente un hyperboloïde à une nappe , on cherchera si elle peut être satisfaite identiquement en y supposant x = a, i/=p, et choisissant convenablement les constantes a et p. Il faudra exprimer qu'après cette substitution le terme en z est nul ainsi que le terme indépendant de js ; et l'on aura :

2B"ap + 2Ga + 2G'p + F =0.

Ces deux équations fourniront pour a et p des valeurs réelles ou imaginaires. Dans le premier cas^ la surface sera un hyperboloïde à une nappe; et^ dans le second^ un hyperboloïde à deux nappes.

Remarque. La discussion^ que nous venons de faire^ n'exige pas que l'on change les axes des coordonnées -, nous devons avertir cependant qu'il sera presque toujours plus commode de commencer par transporter l'origine des coordonnées au centre. Lorsque cette transformation sera faite ^ on apercevra immédiatement si la surface considérée est un cône; la condition, nécessaire et suflSsante pour cela^ est que réquation devienne homogène et^ par suite ^ que le terme indépendant des variables disparaisse de Téquation transformée. En effet, les génératrices du cône ayant des équations de la forme :

x = mzy y=nz,

après Pélimination de a? et de y entre ces équations et celle de la surface , z aura aussi disparu ; ce qui ne peut arriver que si réquation de la sur&ce est homogène. Au surplus^ le cône est compris dans l'hyperboloïde à une nappe ; en cherchant les génératrices rectilignes, d'après la méthode qui sera indiquée plus bas , on saura immédiatement si la surface proposée est un cône.

Surfaces qui ont un nondtre infini de centres.

573. La discussion de ces surfaces résulte de ce qui a été dit [xf* 324-325) à l'occasion de la théorie du centre. S'il existe une droite dont tous les points sont des centres^ la surface est un cylindre à base elliptique ou hyperi}olique; on distinguera ces deux cas Fun de l'autre, en faisant une section parallèle à l'un des plans coordonnés.

S'il existe un plan dont tous les points soient des centres, la surface se réduit à deux plans parallèles.

COMPLÉMENT D^ U f Hfi^ORIE DES SURFACES DU H* BEGRfi. 46S

Surfaces détiuées de centre.

574. Lorsqu'une surface du second degré n^a pas de centre , elle peut appartenir à l'un des genres suivants :

Paraboloïde elliptique ^

Paraboloïde hyperbolique.

Cylindre parabolique.

On pourra toujours distinguer quel est celui de ces trois genres auquel appartient la surface proposée, en cherchant la nature des courbes suivant lesquelles elle est coupée par les plans parallèles aux trois plans coordonnés.

Si, parmi ces courbes, se trouve une ellipse, la surface est un paraboloïde elUptique; car le paraboloïde elliptique est la seule surface , privée de centre , qui admette une section elliptique.

Si y parmi les trois sections, on trouve une hyperbole, la surface est un paraboloïde hyperbolique ; car, parmi les trois surfaces privées de centre, le paraboloïde hyperbolique. est la seule qui admette des sections hyperboliques.

Si enfin les trois sections sont trois! paraboles, la surface est un cylindre parabolique^ car les paraboloïdes n^admettent pour sections paraboliques que celles dont les plans sont parallèles à l'axe, et les trois plans coordonnés ne peuvéht pas être parallèles à une même droite.

Recherche des génératrices rectilignes.

575. Nous avons vu, dans le chapitre précédent, qu'on obtient immédiatement les génératrices d'une surface du second degré, lorsque l'équation de celle-ci peut être préparée de manière que chacun de ses membres se décompose en deux

4M GtOMÉTRIE i^NA^YTIQUE À TROIS M]|fiNSIO«St

facteurs linéaires. Si^ par exemple, il s'agit d'une surface ayant pour équation

(ax + by + cz+d)(afx+b'y + c'z + d') =(Ax+By+Cz+D)(A'x + Wy + Cz+îy),

les équations des deux systèmes de génératrices seront

«^ +6»4-c^+d = X(Aj:+By-|-Cz +b),

iix+b'y + c'z + d' = ^{A'x + B'y + Cz+iy);

et

«^ +by +CZ +d =H. (A'x+B'y + Cz+D'),

a'x + b'y'{'C'z + d' = ^ (Aa? +By +Cz +D);

mais il est souvent difficile de préparer Féquation de la mamère que nous venons d'indiquer; aussi convient-il de donner ici une méthode , au moyen de laquelle on puisse aisément^ dans tous les cas, obtenir les génératrices rectUignes. Désignons, pour abréger, par

Féquation d'une surface du second degré, admettant des génératrices rectilignes; soit

(2) y=3aa?-f-ft,

l'équation de la projection sur le plan xy de l'une de ces génératrices (G). Le plan

y:=ax-^hf

COMPLÉMlSINT Dfi Là THÉORIE DES SURFACES DU tt« MGRÉ. W

coupera la surface suivant une ligne du second >de{^é dont k génératrice (G) fait partie; cette ligne se composera donc de la génératrice (G) et d'une autre génératrice (G'). Ce système de génératrices (G) et (G') se projettera sur le pian xz suivant un système semblable^ dont l'équation sera évîdenïment :

(3) F{x,ax + b,z)=0.

Exprimant donc que cette équation représente deux droites ^ on aura une équation entre a et fr,

qui sera la condition nécessaire pour que la surface' proposée admette des génératrices rectilignes.

L'équation (A) donnera en général deux valeurs pour 6 : h = «p(o), ^=«pi [d); on aura donc toutes les génératrices rectilignes au moyen des deux systèmes

y=raa? + cp(a), F(a:, ax + <f{a), z) — 0', y = ax + ^,{a), F(x, ax+^,{a), z) = 0.

n faut observer que, dans chaque système, la seconde équation est décomposable en deux facteurs linéaires; il semblerait qu'il y ait lieu de distinguer alors quatre systèmes de génératrices , mais il résulte de ce qui a été dit précédenuneût, que ces quatre systèmes se réduisent à deux distincts. On trouvera^ dans ce qui va suivre, une application de cette méthode générale.

Applications.

!• Soit réquation

4M GÉOMÉTRIE ANAI.YTIQUK A TROIS DIMI^SIONS.

en dierchant les coordonnées a:', y', z* du centre, on trouve :

et, si Ton transporte Torigine à ce point sans changer la direction des axes, l'équation devient :

(2) j;«4.y«-|.jj«4.2a;y + 2a?z = 4; si on la résout par rapport à z, on trouve :

la portion du plan des xy^ sur laquelle la surface se projette, est donc définie par l'inégalité

(3) y«2an/+4>0;

les points, dont les coordonnées satisfont à cette condition, sont limités par Thyperbole

— î/* — 2iry+4 = 0;

et, comme le centre de cette hyperbole (57=0, 2/ = 0) satisfait à la condition (3), la surface se projette sur la partie du plan extérieure à Thyperbole; elle est, par conséquent, un hyperboloïde à une nappe.

2<' Soit l'équation

en cherchant les coordonnées du centre, on trouve :

Y+z' = 0, a/— 2«'=0, ir'— 2»'=0; • d'où l'on tire :