COMPLÉMENT DE LA THÉORIE DES SURFACES DU U- DEGRÉ

La surface a donc un centre unique^ qui est à l'origine; en outre^ cette équation» ne contenant pas les carrés des variables» représente un hyperboloïde^ et Ton sait que, s'il est à une nappe» il existe une génératrice parallèle à Taxe des 2; cherchons donc si une droite» ayant pour équations

peut être située en entier sur cette surface. Si nous remplaçons â? et y par ces valeurs, Téquation de la surface devient :

et, pour qu'elle soit satisfaite identiquement, on doit avoir :

a— 2p=0, ap + i=:0; or on déduit de ces équations :

ce qui ne se peut. La surface n'admet pas, par conséquent» de génératrice rectiligne parallèle à l'axe des z ; elle est donc un hyperboloïde à deux nappes.

3^ Soit l'équation

(1) yz-^xz-^^ûcy^z—ki

en cherchant les coordonnées du centre» on trouve : >r' + î^' = 0, x' + z'=0, y' + V==0;

d'où l'on tire :

La surface a donc un centre unique , qui est à l'origine ; en outre ^ comme son équation ne renferme aucun carrée elle ne peut représenter qu'un byperboloïde. JPour connaîtra 1^ nature de cet liyperboloïde , posons :

en substituant^ il vient :

pour que cette équation ait lieu quel que soit z^ il &i|t qu'on ait :

a + 6=0, «6=—*, d'où a« = ft;

il suit de là que l'équation proposée représentera un hyperboloïdc à une nappe , un cône ou un hyperboloïde à deux nappes suivant que k sera positif, nul ou négatif.

Supposons k positif et cherchons les génératrices rectilignes de la surface. Conformément à la méthode exposée plus haut, nous poserons :

(2) y = ew? + 6;

et, en portant cette valeur de y dans l'équation proposée, il vient :

(3) jr[(a+i)a: + 6] + ar* + 6^ + * = 0;

pour que cette éxjuation représente deux droites , il faut et il

suffit que ax^ + 6jc + fc soit divisible par (a + 1 )^ + ^ et par

h , suite qu'il s'annule pour x=- XT^ ^^*® condition

donne :

6===fc(a + l)V^.