GM + MF = GM'+M'F

or, cette égalité serait impossible si les deux points M et M' étaient d'un même côté du point 0 sur KL , car alors Pune des lignes brisées GMF et GMT envelopperait l'autre , et ces lignes terminées aux mêmes extrémités ne pourraient être égales. On voit donc que si Ton fait tourner la droite KL autour du point M de manière que M' se rapproche indéfiniment de M, le point 0, qui restera toujours sur la droite MM' entre les points M et M', se confondra avec M à la limite.

Cela posé^ la droite KL joint le sommet 0 du triangle isocèle F'OG avec le milieu de la base ; il en résulte que les angles F'OK et KOG sont égaux ; d'ailleurs KOG et FOL sont égaux conmie opposés par le sommet; donc F'OK = FOL. Ainsi, dans toutes les positions de la droite KL, les rayons vecteurs du point 0 font avec KL et d'un même côté de cette ligne des angles égaux. A la limite^ la droite KL se confond avec la tangente TT', le point 0 avec M , et Ton a

FTVrr=FMT,

ce qu'il (allait démontrer f^).

Remarque L La démonstration qui précède suppose que, dans toutes ses positions^ la droite mobile KL laisse d'un même côté les foyers F et F. Or cette hypothèse est légitime, il sufiit pour la réaliser que le point mobile M' soit, à l'origine

(*) Cette démonstratk», aussi simple ^e riflonrease et élégante, m'a été eonamniqaée par M. h A. Stnel.

NOTIONS SUR QUELQUES COURBES USUELLES

de son mouvement, du même côté de l'axe focal que le point M ', effectivement toute droite qui coupe Taxe focal entre les deux foyers ne peut avoir avec Tellipse qu'un seul point commun de chaque côté de Taxe focal, puisque s'il en était autrement on aurait deux lignes brisées égales terminées aux foyers et dont Tune envelopperait Fautre, ce qui est absurde. Remarque II. Le raisonnement dont nous avons fait usage^ complété par ce que renferme la remarque I, prouve qu'une droite ne peut rencontrer l'ellipse en plus de deux points. D'où il suit que :

V Une tangente à l'ellipse n'a qu'un seul point commun avec la courbe ;

2o L'ellipse est tout entière située d'un même côté de chacune de ses tangentes.

iS. La tangente à r ellipse en un sommd quelconque est perpendiculcfire à l'axe qui passe par ce sommet.

En effet, considérons d'abord le sommet A, et soit EL la tangente en A (fig. 7) ; les angles FAH et ^F'AL étant égaux, chacun d'eux est droit; donc EL est perpendiculaire sur AA'. Le même raison- ' nement s'applique à la droite Kl tangente en A'. Soit, en second lieu^ KH la tangente au sommet B; les angles KBF' et HBF sont égaux; mais il est évident que les angles OBF et OBF le sont aussi ; donc OBK=:OBH, et KH est perpendiculaire sur BB', Le même raisonnement s'applique à la droite IL tangente

en B'.

n résulte de là que Tellipse est imcriÊe dans le rectangle

HKIL construit sur les axes.

B' fig. 7.

MENER LA TANGENTE A l'eLLIPSE : i» PAR UN POINT PRIS SUR LA courbe; 2** PAR UN POINT EXTÉRIEUR. NORMALE A l'eLLIPSE.