Supposons d'abord qu'il s'agisse de mener la tangente

> en un point M d'une ellipse (fig. 8).

Tirons les rayons vecteurs MF et MP; prolongeons l'un d'eux, MF par exemple, d'une quantité MG égale à l'autre, joignons GF' et abaissons du point M la perpendidiculaire TMP sur FG; cette perfig- 8- pendiculaire sera la tangente de-

mandée.

En effet, le triangle F'MG étant isocèle, la perpendiculaire abaissée du sommet sur la base partage l'angle F'MG en deux parties égales ; on a donc F'MP = GMP, Mais les angles GMP et TMF sont égaux comme opposés par le sommet; donc F'MP = FMT, donc MT est tangente.

Remarque. Si l'on joint le centre 0 milieu de FF' au point P qui est le milieu de F'G, la droite OP sera parallèle à FG et égale à la moitié de FG, c'est-à-dire à a. Il résulte de là que la distance du centre de Vellipse aux pieds des perpendi» culaires abaissées d'un foyer sur les tangentes est constante et égale au demi grand axe^ on y en d'autres termes, le lieu géométrique des pieds des perpendiculaires abaissées des foyers â!une ellipse sur les tangentes est la circonférence décrite sur le grand axe comme diamètre.

14. Proposons-nous maintenant de mener une tangente à l'ellipse par un point T extérieur à la courbe (fig. 9). Supposons pour un moment, le problème résolu ; soient TM la tangente demandée et M le point de contact. Tirons les rayons vecteurs

NOTIONS SUH QUELQUES COURBES USUELLES. 1

iMF, MF' et prolongeons l'un d'eux , MF par exemple^ tfune

quantité MG égale à l'autre; joignons ensuite F'G , FT et GT.

La tangente MT , divisant en deux parties égales l'angle au sommet du triangle isocèle F'UG, sera perpendiculaire à GF' et passera par le milieu P de cette ligne ; fig. 9. on auniy par suite , TG = TF';

d'ailleurs FG = 2a ; donc le pwiit 6 peut être déterminé par Tintersection de deux circonférences, Tune décrite du foyer F comme centre avec le rayon 2a, l'autre décrite du point donné T comme centre avec le rayon TF'. Le point G étant connu , on le joindra au foyer F', et Ton abaissera du point T la perpendiculaire TP sur F'G; cette perpendiculaire sera la tangente demandée, et le point M, où elle rencontre FG, sera le point de contact.

En effet, on a, par construction TG = TF', donc TP est perpendiculaire sur le milieu de F'G; donc MF' = MG, et par conséquent MF + MF' = 2a, ce qui prouve déjà que le point M est sur l'ellipse. En second lieu l'angle F'MP = GMP = FMT ; donc MT est tangente.

Nous avons vu que le point G est déterminé par l'intersection de deux circonférences; or deux circonférences se rencontrent généralement en deux points, il y a donc deux solutions et par le point donné T on peut mener deux tangentes à Tellipse. 11 est facile, en effet, de démontrer que les deux circonférences décrites des points F et T comme centres, avec des rayons égaux à 2aet àTF' respectivement, se rencontrent toujours en deux points, si, comme nous le supposons, le point Test extérieur à l'ellipse. Joignons FT; le point T étant extérieur à l'ellipse , on a (n*^8) 2a < TF + TF';

UiTBODUGTION A Là OCOMtTRlE ANALYTIQUE.

d'ailleurs dans le triangle TFF' on a TF < FF + TF' et, à fortiori , TF < 2a + TF'. Cela prouve que nos deux circonférenoes se rencontrent toujours en deux points , car la distance des centres est moindre que la somme des rayons, et le plus grand rayon est moindre que la somme du plus petit et de la distance des centres.

Si le point T était sur Fellipse , on aurait 2a = TF + TF'; alors le plus grand rayon serait égal à l'autre augmenté de la distance des centres, et les deux circonférences se toucheraient intérieurement Dans ce cas il n'y a plus qu'une seule tangente et l'on retombe sur la construction donnée précédemment.

Si le point T était intérieur à Tellipse, on aurait 2a > TF + TF'; alors l'un des rayons serait plus grand que l'autre augmenté de la distance des centres; les deux circonférences seraient intérieures l'une à l'autre, et il n'y aurait plus de tangente.

iS. La propriété démontrée au n® il fournit encore un moyen très-simple de mener àTdlipse une tangente parallèle

à une droite donnée. Soient F et F' les foyers de l'ellipse (fig. 10) et CD la droite à laquelle la tangente doit être parallèle. Si le problème était résolu, que TP fût la tangente demandée et M le ponit de contact, en joignant FM et prenant sur cette direction FG = 2a , la ligne F'G serait perpendiculaire sur TP et par suite sur CD. Il résulte de là que le pomt G peut être déterminé par l'intersection de la perpendiculaire abaissée de F' sur CD avec la ciroonftrence de rayon 2a et décrite du point F comme centre. Le point G étant connu , on le joindra au point F et, par le milieu P de GF, on mènera

flg. 10.

MOTICmS 8UR QUELQUES COURBES USUELLES. 16

TP parallèle à CD ; cette parallèle sera la tangente demandée et le point M où elle rencontrera GF sera le point de contact. £d effet , joignons MF'; la ligne TP étant perpendiculaire sur le milieu de GF' par construction^ on a GH = Fld; donc MF -|- MF' = 2a ; ce qui prouve déjà que le point M est sur Tellipse. En second lieu Fangle F'MP = 6MP = FMT; donc TP est tangente.

Le point G est déterminé par Fintersection d'une droite et d'un cercle^ lesquels se coupent généralement en deux points. 11 peut donc y avoir deux solutions -, or je dis que les deux solutions ont lieu dans tous les cas^ en effet le rayon du cercle 2a est plus grand que FF' et, à fortiori, plus grand que la distance de son centre F à la droite F'G.

Remarque. La construction de la tangente , dans les trois cas que nous venons d'examiner, ne suppose pas que la courbe soit tracée 5 il suâSt de connaître les foyers et la longueur du grand axe. Quand on construit nne ellipse par points, il est convenable de mener les tangentes aux points qu'on a déterminés ; elles permettent d'obtenir un dessin plus exact.

16. La normale à V ellipse en un f oint partage en deux parties égales V angle des rayons vecteurs de ce point.

En effet, soit TT' la tangente à une ellipse en M (tig. 11) et MN la normale; tirons les rayons vecteurs MF et MF'; on a

FMT=F'MT',

«R- "• NMT = NMT' = un droit,

donc

FMN = F'MN, œ qu'il faliaii dteontrar.

INTRODUCTION A LA GËOHËTRIE ANALTriQUE.

DEntunon m la FjUueoLit , par la propriété dd foieh et de l

DtRECTRlCS. — TRACB DB LA COURBB PAR FOIKTS ET d'l'N H COHTIKU. — Aïs. — SOMMET. — RATON TBCTEOR.

17. La parabole est une courbe plane dont chaque point est également distant d'un point fixe et d'une droite fixe. Le point fixe est dit le foyer et la droite fixe est dite la directrice de la parabole.

IB . On peut construire aisément autant de points qu'on veut de la parabole quand on se doune le foyer et la directrice. Soient F le foyer et DD' la directrice (fig. 12). Abaissons du foyer une perpendiculaire EE' sur la directrice et soit E le point de rencontre. 11 est clair ' que le milieu S de FË appartient à la parabole et que ce point est le seul qui soit commun k EE' et à la courbe.

Pour avoir d'autres points, soit P un point quelconque de SE'; menons par ce point MM' perpendiculaire à EE', et décrivons, du point F comme centre, une circonférence d'un rayon égal à PE ; cette circonférence rencontrera la droite MM' en deux points M et M' qui appartiendront à la parabole. Je dis d'abord qu'il y aura rencontre pourvu que le point P soit situé sur la partie indéfinie SE' de la droite EE', car alors le rayon EP sera plus grand que la distance do centre F à la droite. En second lieu, les points M et M' appartiendront à la courbej car, pour le point M par exemple, on a FM = EP = MN, On aura de cette manière autant de points qu'on vou-

fl(t. lî.

NOTIONS SUR QUELQUES COURBES USUELLES

dra de la parabole , et comme le point P peut avoir toutes les positions sur la droite indéfinie SE', il s'ensuit que la courbe s'étend à l'infini au-dessus et au-dessous de la droite EE'. On voit en outre que la courbe est tout entière située d'un même côté de la droite W menée par le point S parallèlement à la directrice^ et qu'elle n'a avec cette droite que le seul point commun S. %

Quand on aura ainsi construit des points assez rapprochés les uns des autres^ on les joindra par un trait continu^ et une portion de la courbe sera tracée par points. 19. On peut aussi tracer d'un mouvement continu une portion de parabole aussi ét^due qu'on le veut. Soient DD' la directrice, F le foyer (fig. 13), et supposons qu'on veuille tracer la portion de parabole comprise entre la directrice et une parallèle KK' située à une distance de la directrice égale à EH. On prendra une équerre ABC dont un des côtés de l'angle droit AG soit égal à EH; on prendra aussi un fil de même longueur ; on fixera Tune des extrémités de ce fil au foyer F et l'autre extrémité au sommet G de l'équerre; on placera une règle suivant la directrice et l'on appuiera Téquerre sur la règle de manière que le sonunet A soit en E et le sommet G en H. Gela posé, si Ton fait glisser l'équerre de E vers D et que Ton teiide le fil par le moyen d'un style appliqué sur GA et muni d'un crayon , la portion SMK de la parabole se trouvera tracée par le crayon. On décrira par le même moyen la portion SK'. Il

flg. 13.

est aisé de justifier la consti*uction précédente. Considérons en effet Téquerre dans une quelconque de ses positions , et soit M le point occupé par le style; le fil forme la ligne brisée GMF y mais la longueur de ce fil est EH ou GA , donc

CM + MF = CM + MA ou MF = MA ;

donc le point M a décrit une portion de parabole.

SO. Il résulte de ce qui a été dit au n^ 18 que la perpendiculaire abaissée du foyer sur la directrice est un axe pour la parabole. Effectivement les perpendiculaires à cette droite rencontrent la parabole en deux points symétriques par rapport à la droite. Le point où Taxe rencontre la parabole est dit le sommet de la courbe.

81. Dans la théorie de la parabole on nomme rayon vecteur la distance du foyer à un point quelconque de la figure. Ainsi

Le rayon vecteur d!un point de la parabole est égal à la distance de ce point à la directrice.

Il est bon de remarquer que la parabole sépare les points du plan dont le rayon vecteur est plus grand que la distance à la directrice de ceux pour lesquels ce rayon vecteur est plus petit que la distance à la directrice. En d'autres termes ^ si Ton appelle points intérieurs à la courbe ceux qui comme le foyer sont compris dans Tespace indéfini formé par les deux branches delà courbe, et points extérieurs ceux qui ne sont point situés dans cet espace , on a ce théorème :

Le rayon vecteur d^ un point du plan de la parabole est inférieur ou supérieur à la distance de ce point à la directrice , mivant quil est intérieur ou extérieur à la courbe.

En effet, soient F le foyer et DD' la directrice (fig. 14); i° P étant intérieur à la courbe , menons PMN perpendicu^

NOTIONS SUR QUELQUES COURBES USUELLES

lâire à la directrice^ et soit M le point de rencontre avec la

courbe; le triangle FMP donne PF<MP + MF, mais MF=:MN, P" *«>^p donc