Démontrons actuellement le thorème énoncé. Soient F
le foyer, DIK la directrice de la parabole et M le point de la courbe où nous voulons considérer la tangente (fig. 16). Menons par ce point M et par un second point M' de la courbe la sécante KL, et cherchons quelle sera la limite de cette sécante, lorsque le point M' fi»* *^* se mouvant sur la courbe
sera venu se confondre avec M. Abaissons FI perpendiculaire sur KL, et prolongeons-la d'une quantité IG = FI; joignons les points M et M' à chacun des points F et G; puis, par les points M, M' et G, menons MP, MT', et GO perpendiculaires à la directrice. Soient enfin m, m' et o les points où ces perpendiculaires rencontrent une parallèle HH' à la directrice, située à une distance quelconque de cette directrice, mais cependant assez grande pour que les points M et M' soient Tun et l'autre dans la bande comprise entre DD' et et HH'. Je dis que le point 0 où GO rencontre KL sera toujours situé entre les points M et M', commeFindique la figure. En effet, on a MP+Mm=MT'+MW comme parallèles comprises entre parallèles ; d'ailleurs MP = MF=MG, de
nf
NOTIONS SUR QUELQUES COURBES USUELLES. 31
même M'F = M'F=M'Gî donc MG + Mm=M'G + MW. Ainsi la ligne brisée GMm est égale à la ligne brisée GMW. Or^ d'après le lenune démontré en commençant, cette égafité serait impossible si le point M était entre 0 et M' ou le point M' entre 0 et M. On voit donc que si Ton fait tourner la droite KL autour du point M , de manière que M' se rapproche indéfiniment de M, le point 0 se confondra avec M à la Hmite. Gela posé, la droite KL joint le sonmiet 0 du triangle isocèle FOG au milieu de la base; il en résulte que les angles FOK et KOG sont égaux; d'ailleurs KOG et LOo sont égaux conune opposés par le sommet; donc FOK = LOo. Ainsi , dans toutes les positions de la droite KL, le rayou vecteur du point 0 et la parallèle à Taxe menée par ce point, font avec KL, et d'un môme côté de cette ligne, des angles égaux. A la limite la droite KL se confond avec la tangente TT, le point 0 avec M , et Ton a
FMT=:imMT',
ce qu'il fallait démontrer.
Remarque L La démonstration suppose que la droite KL ne rencontre jamais la partie indéfinie FË' de Taxe , mais l'autre partie indéfinie F£. Cette hypothèse est réalisée, si Ton prend le point M' du même côté de l'axe que le point M , car il est facile de démontrer, en s'appuyant sur le lemme du n° 22, que toute droite qui rencontre la portion de l'axe comprise dans la courbe, et qui a pour origine le foyer, ne peut avoir qu'un seul point commun avec la courbe d'un même côté de Taxe.
Remarque IL Ce qui précède fait voir ({xa' une droite ne rencontre jamais la parabole en plus de deux points y d'où ii suit que :
1» Une tangente à la parabole n'a qu'un seul point commun avec la courbe ;
INTRODUCTION A lA GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.
2o La parabole est tout entière située d'un même côté de chacune de ses tangentes.
Remarque 111. On voit encore aisément que la tangente au sommet de la parabole est perpendiculaire à l'axe.
