NORMALE
84. Supposons d'abord qu'il s'agisse de mener une tangente en un point M d'une parabole (fig 17). Soient F le foyer et DU la directrice 5 joignons MF, abaissons FE perpendiculaire sur DD', prenons FT = MF et joi- gnons le point T au point M ; la ligne MT sera la tangente demandée.
En effet , menons par le point M la droite PQ perpendiculaire sur la directrice; le triangle MFT étant isocèle , l'angle TMF = MTF; d'ailleurs MTF et T'MQ sont égaux comme correspondants, donc TMF=:T'MQ; donc MT est tangente.
Remarque. Joignons FP ; le triangle FMP est isocèle , la tangente TT partage évidemment l'angle au sommet en deux parties égales. Il s'ensuit qu'elle est perpendiculaire sur PF, et que le point I où elle la rencontre est le milieu de PF ; par conséquent si du point I on abaisse une perpendiculaire sur ËF, cette perpendiculaire passera par., le milieu de EF; ce sera donc la tangente au sommet de la parabole. II résulte de
ng. 17.
NOTIONS SUR QUELQUES COURBES USUELLES
fig. 18.
ià que la tangente au sommet de la parabole est le lieu géométrique des pieds des perpendiculaires abaissées du foyer sur les tangentes à la courbe.
SS. Proposons-nous maintenant de mener une tangente
r^ à ,1a parabole par un point T extérieur à la courbe teg. 18). Soient F le foyer et DU la directrice , si le problème était résolu^ que TM fût la tangente demandée et M le point de contact, en abaissant MP perpendiculaire sur la directrice, et joignant PF , PT et TF, la tangente TM serait perpendiculaire sur le milieu I de PF, et Ton aurait TP=TF. Il suit de là que le point P est à Tintersection de la directrice et du cercle décrit du point T comme centre avec le rayon TF. Le point P étant connu , on joindra PF, et on mènera PM parallèle à l'axe ; enfin on abaissera TI perpendiculaire sur PF ; cette ligne sera la tangente demandée, et le point M où elle rencontrera PM sera le point de contact.
En effet, on a, par construction, TP = TF; donc la perpendiculaire TI abaissée sur PF passe par son milieu, donc MP = MF , ce qui prouve que M est sur la courbe. En second lieu , on a TMF = TMP = TMQ , donc TM est tangente.
Quand le point T est hors de la parabole, sa distance au foyer est -plus grande que sa distance à la directrice; donc le cercle TF coupe la directrice en deux points P, F, et il y a deux tangentes. Quand le point T est sur la parabole , sa distance au foyer est égale à sa distance à la directrice; le «ercle TF est tangent à la directrice, et il n'y a qu'une seule
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tangente. Enfin y quand le point T est intérieur à la parabole, sa distance au foyer est moindre que sa distanœ à la directrice; le cercle TF ne rencontie pas la directrice, et il n'y a plus de tangente.
