Considérons un cylindre droit dont l'axe soit AA

(fîg. ii), et supposons-le terminé par Jes deux plans BC et DE perpendiculaires k l'axe. Menons par les points B et D,

NOTIONS SUR QUELQUES COURBES USUELLES. 29

extrémités d'une arête quelconque BD^ les lignes BP et DQ perpendiculaires au plan formé par Faréte BD et Taxe AA' ; prenons sur ces lignes des longueurs BP et DQ égales à la circonférence de base du cylindre; enfin joignons PQ et BQ« n est évident que les lignes BP et DQ sont tangentes aux circonférences BG et DE^ et que le plan du rectangle BDQP n'a d'autres points communs avec la surface du cylindre que ceux de Faréte BD. Cela posé, si Ton enroule le rectangle BDQP sur le cylindre y le côté PQ viendra se placer sur BD, et la droite BQ hypoténuse du triangle rectangle BPQ formera sur le cylindre une portion de courbe BHD terminée sur l'aréte fiD aux points B et D. Cette courbe se nomme hélice.

Mais l'hélice n'est pas une courbe terminée brusquement; au contraire , elle s'étend indéfiniment dans les deux sens comme le cylindre auquel elle appartient, et tous ses points peuvent s'obtenir par le même moyen que ceux de la portion limitée que nous venons de considérer. Prolongeons la portion du cylindre BCDE d'une quantité égale DEFG ; par le point F, extrémité de l'arête BD, prolongée , menons FR parallèle à BP, et par le point R où cette ligne rencontre BQ prolongée, abaissons RT perpendiculaire sur BP. A cause de BD = DF et du parallélisme des droites DQ et FR, la ligne FR ou BT est double de DQ ou de BR ; d'où il suit que si l'on enroule le plan du rectangle BFRT sur le cylindre, la droite TR viendra s'appliquer sur BF après qu'on aura fait deux fois le tour du cylindre; en outre, il est clair qu'après avoir achevé un tour entier, la ligne QR formera sur le cylindre une portion de courbe terminée en D et F sur l'arête DF et qui sera identique avec la portion de courbe déjà formée par BQ. Et, sans qu'il soit nécessaire de plus d'explications, on voit que si le cylindre est censé prolongé indéfiniment audessus de BC et que Von enroule indéfiniment le plan xB\

sur le cylindre 5 la droite indéfinie Bx formera sur la surfoce une courbe composée d'une infinité dé parties égales entre elles et toutes terminées sur Taréte W. Ces différentes parties de l'hélice se nomment spires ^ et la distance des plans perpendiculaires à Taxe menés par les extrémités d'une spire est dite le pas de Thélice.

Enfin ; comme on peut aussi concevoir le cylindre indéfiniment prolongé au dessous du plan BC y on voit que si Ton enroule sur cette surface l'autre portion du plan des lignei W et Bap, c'est-à-dire la portion VBa?', la droite indéfinie Bàf formera aussi sur le cylindre une infinité de spires.

On peut dire, d'après cela, que :

Les hélices sont les courbes dans lesquelles se transformaU les lignes droites tracées sur unplan^ quand on enroule ceplan sur un cylindre droit.

11 faut remarquer que la circonférence peut être considérée comme une hélice dont le pas est nul.

Une niéme ligne droite engendre ainsi toutes les spires d'une hélice , mais il est quelquefois plus commode de considérer l'hélice comme engendrée au moyen d'une série de droites parallèles égales et équidistantes. Effectivement, si l'on prolonge PQ jusqu'à sa rencontre en S avec FR et que l'on joigne DS, il est clair que DS sera égale et parallèle à BQ et à QR, et que quand on enroulera le plan de ces lignes sur le cylindre, les droites DS et QR formeront la même spwe sur la surface; savoir, DS après le premier tour, QR après le deuxième tour. Ce raisonnement s'applique évidemment à toutes les spires.

11 résulte de là que :

Lhélice peut être obtenue en enroulant sur un cylindre droit f un rectangle indéfini dont la largeur serait égale â la

NOTIONS SUR QUELQUES COURBES USUELLES

drconférmce de bcue du cylindre et sur lequel seraient tracéeê une térie de droites parallèles et équidistantes.

32. Considérons le point B comme Vorigine de Thélioe, ou BHD conmie la preimèrespire(tig. 24), en sorte que la deuxième

flg. 24.

spire soit celle comprise entre les plans BE et FG; et ainsi de suite; je dis que la distance MN d'unpoint de la première spire au plan delà baseBG est proportionnelle à l'arc de cercle BN. En effet , prenons sur BR une longueur Bn égale à l'arc BN rectifié, et élevons nm perpendiculaire à BP ; il est clair que mn = MN , car en enroulant le plan BDm sur le cylindre^ le point m reste toujours à la même distance du plan de la base BC. Gela posé^ les triangles semblables Bmn et BPQ donnent