MN MI
les triangles semblables Bmn et mm'i donnent aussi
Bn mi mn m'i '
Divisant ces deux proportions terme à terme, et se rappelant que MN = mn , M'I = m'i , il vient
NK MI Bn mi '
mais on a Ml = corde NN' , mi = nn! = arc NN', donc on a
NK corde NN' Bn "" arc NN' *
Or, pendant que le point M' se rapproche indéfiniment du point M, le point N' se rapproche indéfiniment de N, et quand MM' est devenue tangente à Thélice, NN' est tangente au cercle BG en N; d'ailleurs le rapport d'un arc de cercle à sa corde a pour limite l'unité quand cet arc décroît indéfiniment;
donc
NK Hm ^ == 1 ou /il» NK = Bw.
Si donc MT est la tangente à Thélice en M (fig. 26)^ et que
flg. 26.
NT soit la tangente au cercle BG au point N qui est la projection de M sur le plan de ce cercle, on aura
NT = Bn;
d'ailleurs MN = mn; donc les triangles rectangles ]MNT et mnB sont égaux; il s'ensuit que l'angle NMT = Bmn = BQP; donc l'angle que fait la tangente MT avec l'arête MN du cylindre est constant et égal à celui que fait la ligne BQ avec la même arête.
Remarquons encore que N, étant la projection de M sur la base BC et T la trace de la tangente sur le plan de cette base, b longueur NT est égale à l'arc NB rectifié. Cette remarque nous sera utile pour la construction de la tangente.
Konons son quelques coubbes usuelles.
consntuiRE la phcueciion de l'hélice bt db Lt T&NGEnTK svH un
FLAN PERmnilCDLAIRE A LA BASE DU CTLIHIIItB.
M. Prenons pour plan lumzontal de projection celai de la baie du cylindre, et ponr plan vertical un plan parallèle à l'axe et an diamètre qm joint le centre de la base à l'origine d'une spire. Le cercle bkeg ( fig. 27 ) représente la base du cylindre , ^ct le rectangle BCED est le conlonr apparent, sur le plan vertical, de la portion du cylindre sur laquelle est tracée la premiers spire ; en sorte que B est l'origine de l'hélice et BD son pas. Prenons un point m quelconque sur le cercle bkeg, et cherchons la projection ter- Kcale du point de Hiélice projeté horizontalement en »t. Si le problème était résolu et que M fût cette projection verticale, la Kgne «iM serait perpendiculaire à la ligne de terre et la bauteur B|j^ du point M au-dessus de la ligne de terre serait donnée par la proportion
BuL BD
flg. il.
arc 6m circonférence ab '
d'où il suit que le point M sera déterminé par l'intersection de la perpendiculaire abaissée de m sur la ligne de terre avec la parallèle à cette même ligne menée par le point {«., qu'on détermine par le moyen de la proportion précédente.
Quant à la projection de la tangente à l'hélice au point (m, M), il est aisé de l'obtenir; car si par m on mène la tangente mt à la circonférence ab et que l'on prenne mt = arcmt, on sait que le point / sera la trace horizontale de la tangente. Si donc on abaisse h perpendiculaire sur la ligne de terre, et que Ton joigne Mt , on aura la projection verticale de la tangente en M.
35. On pourra construire ainsi autant de points qu'on voudra de la projection verticale de l'hélice ; joignant ensuite ces points par un trait continu , on aura la projection. Pour effectuer commodément le dessin , voici la marche à suivre : on divisera la circonférence bhcg et la ligne BD en un même nombre de parties égales à partir de 6 et de B respectivement, en seize parties égales, par exemple; par chaque point de division du cercle on mènera une perpendiculaire à la ligne de terre , et par le point correspondant de BD une parallèle à la ligne de terre ; le point de rencontre de ces deux lignes fera connaître un point de la projection de Fhâioe. On aura ainsi seize points qui suffisent pour dessiner la courbe.
Les points I et J, situés sur Taxe AA', correspondent aux points ^ et ^ du diamètre gh perpendiculaire à la ligne de terre. Les points B, L, D, situés sur le contour apparent, correspondent aux points 6, c, 6,* il est évident que BD est tangente à la courbe aux points B et D et que CE est tangente au point L.
Ayant ainsi la projection d'une spire, on aura aisément les projections de^ autres, car toutes ces spires sont identiques.
