CHAPITRE PREMIER

LOI DE l'homogénéité.

56. Une fonction F(a, 6,c,...) de plusieurs quantité» a, 6,c,... est dite homogém^ lorsqu'en remplaçant a,bfC,... par ka, ib^kCy... la nouvelle valeur que prend la fonction est égale à la valeur primitive^ multipliée par une puissance de k d'un d^gré quelconque m. L'exposant m de la puissance de k^ dont il est question^ est dit le degré d^ homogénéité de la fonction. Pour exprimer qu'une fonction F(a, b, c,...) est homogène et du degré m^ il sufSt donc d'écrire

F(ka, kby fe,...) = fc«F(i», 6, c,...).

On voit , d'après cette définition, que les fonctions

a* + 2a6 , sfdê , y/o — \/6 , loga — logé ,

sont homogènes. La première est du degré 2 ; la deuxième du

degré i ; la troisième du degré -^ et la quatrième du degré

zéro.

Une équation est dite homogène lorsque , Fun des membres étant nul; l'autre membre est une fonction homogène; ou lorsque les deux membres sont des fonctions homogènes du même degré. On voit qu'une équation homogène n'est pas changée ; lorsqu'on multiplie par un même facteur k les diverses quantités qu'elle renferme.

Une équation algébrique étant donnée ^ on peut toujours faire en sorte que l'un de ses membres soit nul et que Tautre membre soit une fonction rationnelle et entière. Si l'équation est homogène et du degré m, chacun de ses termes renfermera m facteurs littéraux ; et réciproquement.

37 . Les longueurs sont proprement les seules grandeurs que l'on ait à considérer dans les recherches géométriques; caria mesure des surfaces et celle des solides se ramènent immédiatement à la mesure des longueurs. Quand on veut exprimer analyliquement une relation entre plusieurs longueurs, on imagine que ces longueurs soient rapportées à une certaine unité , qui , du reste, demeure le plus souvent indéterminée; puis l'on représente par des lettres a, 6,... les rapports de ces longueurs à l'unité; enfin l'on écrit, conformément aux règles de l'algèbre , V équation qui a lieu entre les quatUitêi a, &,...

38. Les équations, auxquelles conduisent ainsi les recherches géométriques, sont toutes homogènes ^ lorsque Tunité demeure indéterminée. Cette propriété est de la plus haute importance, et nous allons l'établir d'une manière générale à l'égard des équations algébriques.

Soit

(1) F(a,bf€,...)=zO

une équation algébrique entre les quantités a, 6, c,... qui expriment les rapports de plusieurs longueurs à une même unité arbitraire. On peut supposer, comme il a été dit plus haut, que F(fl, 6, c,...) soit une fonction rationnelle et entière; par conséquent ^ si elle n'est pas homogène, on pourra grouper ensemble les termes de même degré et la considérer comnœ lâ somme de plusieurs fonctions homogènes ç(fl, 6, c,..,), ^[a,b, c,...), '^^^(a, h, c,...) etc., de degrés m, n,p,... respectivement ; et l'équation proposée sera

(2) cp(a, 6, c,...) + iKa, 6, c,...)+'5^(a,6,c,. ..)+.. .=0.

Cela posé, si, après avoir fixé à volonté l'unité linéaire à

laquelle toutes les longueurs sont rapportées, on choisit une

deuxième unité dont le rapport à la première soit -, il est

clair que les longueurs qui étaient représentées par a, 6, c,.. le seront maintenant par ka, kh, fe,... ; et que l'équation (4) ou (2) continuera d'avoir lieu si Ton remplace a, 6, c,... par ia, kb, kCy... On a donc

<p(fai, 46, kc,...)+^{kay kb, fcc,...)+'5^(Aa, kb, ic,.. .)-{-.. ,=0.

D'ailleurs les fonctions «p, ^, '2êr,... sont homogènes, et des

degrés m,n,p,... respectivement; par suite, Téquation précédente peut s'écrire de la manière suivante :

iKp(a,6, c,...)+k'^[a,b, c,...)+iP'Zê^(a, 6, c,...)+...=0.

Cette équation devant avoir lieu quel que soit le nombre k qui est essentiellement arbitraire , il faut que l'on ait séparément

'f(a, 6, c,...)=07 <Ka,6,c,...}=0, '5^(a,6,c,...) = 0,....

Il résulte de là que, si V équation proposée n* est pas homo» gène y cette équation a été obtenue en ajoutant entre elles plu* sieurs équations homogènes de degrés différents.

n est clair que si l'on ajoute des équations homogènes de degrés différents, on formera une équation exacte; mais une pareille combinaison ne peut avoir aucun objet et doit être rejetée avec soin de toute analyse bien conduite. Nous croyons ' devoir ajouter à ce sujet quelques développements qui constitueront une sorte de démonstration nouvelle de la loi fondamentale de rhomogénéité.

39. Supposons quMl s'agisse d'exprimer analytiquement une relation entre plusieurs longueurs. Soient a, 6, c,... les rapports de ces longueurs à une unité arbitraire. On peut évidemment ^ pour exprimer la propriété que l'on en a vue, prendre pour unité la première des longueurs considérées , celle qui était représentée par a , par exemple, et qui le sera actuellement par 1. Dans cette hypothèse, les autres longueurs qui étaient représentées par 6, c,... etc., le seront mainte-

b c tenant par -,-,...; et l'équation, exprimant la propriété que

possèdent ces longueurs , aura nécessairement la forme

n est évident qu'elle est homogène.

Remarque. Le théorème de l'homogénéité s'applique à toutes les équations de la géométrie, pourvu que les surfaces et les solides y soient représentés conformément aux règles qu'elle prescrit.

40. Non-seulement les équations de la géométrie sont homogènes, mais les formules ou expressions algébriques que

l'on y considère sont toujours nécessairement homogènes ; car une expression algébrique^ que l'on forme dans une question de géométrie, est destinée ou à représenter une longueur^ ou à être égalée à une autre expression algébrique à l'effet d'obtenir une équation.

41. Ce qui précède, nous devons le répéter^ suppose qu'aucune des longueurs, que l'on considère, n*est prise pour Tunité.

S'il en est autrement, on peut obtenir des équations non homogènes ; mais il est facile de rétablir l'homogénéité quand on le désire. Supposons, en effet, qu'on ait plusieurs longueurs dont la première soit représentée par 1 , les autres par a, 6, c,..., et soit une équation

Prenons pour unité linéaire une longueur quelconque , et supposons que

X, a%h'yC\

représentent alors les longueurs qui étaient précédemment représentées par i, a^ 6^ c... ^ on aura évidemment

et l'équation (i) deviendra

ou, en supprimant les accents,

f/"^ * ' Wo

On voit par là que, pour rétablir rhomogénéité dans Téquâtion (i), il suffit d'y mettre -, -, -,... au lieu de a, 6, c,...

a, 6, c n'ayant pas, bien entendu, les mêmes valeurs numériques que précédemment.