CONSTRUCTION DES EXPRESSIONS ALGEBRIQUES
42. D'après la théorie qui vient d'être exposée, toute expression algébrique et homogène du premier degré, dans laquelle les diverses lettres représentent des longueurs, est elle-même l'expression d'une longueur. Or, je dis qu'une pareille expression peut toujours être construite géométriquement, c'est-àdire par la règle et le compas : 1° dans le cas où elle est rationnelle ; 2° dans le cas où elle ne renferme pas d'autres irrationnelles que des radicaux du second degré , ou des radicaux dont l'indice est une puissance de 2.
45. 1° Construction des formules rationnelles. La plus simple des fonctions rationnelles qu'on ait à considérer est la fonction monôme. Telles sont, par exemple, les fonctions
ab abcd
c ' efg '
La première se construit immédiatement ; elle exprime , en effet, une quatrième proportionnelle aux lignes a, b^c. La deuxième et toutes les fonctions rationnelles de la même forme se construiront, en répétant plusieurs fois l'opération par la-
DES ËQUATK»«& ET DES FORMULKS DE LA GÉOMÉTRIE. 4a
quelle oo trouve une quatrième proportiounelle à trois lignes données. Prencms en effet la fonction
abcd
Construisons uim cpiatriènie proportionnelle aux lignes a, b, «,
6t désignons-la par a , on aura
ab ^ abcd acd
— = a et — = -.
e efg fg
Construisons pareillement une quatrième proportionnelle aux lignes a^ c et /, et désignons-la par 6 , on aura
ac ^ acd M
•j = 6 et -T- = — ,
f fg 9
et OD voit qu'il ne reste plus qu^à construire une quatrième proportionnelle aux lignes 6^ d et g.
Cela posé^ je dis que la construction d'une fonction rationnelle quelconque peut se ramener à la construction d^une formule monôme. Soit par exemple la formule
abc-\-def — ghk
m»-fpg — rs
On peut récrire ainsi :
\ mm/
On peut construire, comme il a été indiqué plus haut, chacune des longueurs représentées par les monômes
def ghk pq rs ab^ ab ^ m^ m'
désignons-les par a, 6, y> ^3 ^^ ^^^ formule deviendra
formule monôme que Ton construira à son tour par le même procédé. Cette méthode s'applique évidemment à toute fonction rationnelle.
44. Construction des formules irrationnelles. Considérons l'un des radicaux du second degré qui entrent dans une formule irrationnelle^ et supposons d'abord que la quantité soumise à ce radical soit une fonction rationnelle telle que
abcd + efgh — klmn ^
pq — rs'{-tu ce radical peut être écrit de la manière suivante :
/ efgh klmn\ \ abc abc )
et, en suivant les règles données précédemment, on le ramènera à la forme
abccL
ensaite on construira une ligne y égale à --z- > et le radical sera
ramené à la simple forme sf(v{) en sorte que 5 si 0 désigne la moyenne propoi*tionneUc entre a et y , on pourra remplacer le radical donné par 0 dans la formule où il se trouve.
On pourra , par cette méthode, faire disparaître de la formule proposée tout radical du second degré affectant une quantité rationnelle; et par cette même opération, plusieurs fois répétée sMl est nécessaire, on ramènera la formule proposée à une formule rationnelle.
Ge qui précède s'applique évidemment aux expressions algébriques contenant des radicaux dont l'indice est une puissance de 2 ; car tout radical de cette espèce peut être remplacé par des radicaux du second degré superposés.
45. Il y a quelques expressions simples pour la construction desquelles il ne convient pas d'appliquer la méthode générale que nous venons de développer; tels sont, par exemple, les radicaux
que Ton peut construire aisément au moyen de la propriété du triangle rectangle.
Nous citerons encore l'expression
sJa^ + V±ah,
qui représente le troisième côté d'un triangle dont a et 6 sont les deux premiers et dont l'angle opposé est de iâO» ou de 60^ 46. Lorsqu'on se propose de construire une formule Homo-
gène y il n'est pas nécessaire de connaître l'unité ; il suffit d'avoir les longueurs représentées par les letti'es qui entrent dans la formule. Mais, s^il s'agit d'une expression non homofène, U est iiidiq[)eDsaMe d'avoir la kHogueur prise pour unité. Cionsidérons une formule non homogène
et supposons comme la longueur prise pour unité; prenons une seconde unité, et soit X le rapport de la première unité à la seconde. Oa rendra la formule proposée homogène, en r^nplaçant comme il a été dit plus haut, Xya,bétc
par y, -, -, -; on aura donc
ou
2a6X + X' + rtftc ^ = S6 '
expression que l'on construira par la méthode indiquée plus
utStlt.
47. Si la formule à construire est entièrement numérique; il n'est pas nécessaire de rétaUir Vhoi]K)géiiéité. Prenons pour exemple
On construira v/5~en cherchant une moyenne proportionnelle estre la ligne prise po«r unité et le quintuple de cette unité; on retranchera Tunité du résultat, et l'on prendra enfin une imyenne fMroporiionnelle entre la ligne obtenue et l'ioiilé.
48. Construction des racines de V équation du second degré. Supposons que a et 6 représentent des longueurs données^ et X une longueur inconnue déterminée par l'une des quatre équations:
(1) x^—ax-\-V=0 (3) x'+ax-\'V=0
(2) x'+oo:— 6^=0 (4) ar*— or— 6«=0;
ilsuflStde savoir construire les racines des équations (1) et (2); puisque les racines des équations (3) et (4) sont respectivement égales et de signes contraires à celles des équations (1) et (2). 1° L'équation (1) peut s'écrire comme il suit :
On voit alors que x eia — x sont les deux côtés adjacents d'un rectangle dont Taire est 6^ et le périmètre 2a. Les racines de l'équation seront donc représentées par ces deux
i) côtés. Pour les trouver, on prendra AB = a (fig. 28), et sur cette ligne comme diamètre, on décrira une o B demi-circonférence ; on élèvera sur
fig. 28. AB la perpendiculaire AG = 6 ,
et, par le point G on mènera une parallèle à AB. Gette parallèle coupera la circonférence en deux points I et K, si h est
moindre que ^5 ^^^^ touchera la circonférence, si 6 = -; enfin
elle ne rencontrera pas la circonférence, si 6 est plus grand a
Soit 6 < ^ ; abaissons IH perpendiculaire sur AB : les deux racines de l'équation (1) seront représentées par AH
et HB , car on a
AHx(AB— AH) = 6' ou HBx(AB— HB) = 6*.
Si 6 =-, les racines sont toutes deux égales à AO ou — .
a Si l'on a 6 > ^ , Téquation proposée a ses racines imaginaires.
2o L* équation (2) peut s'écrire ainsi
Les lignes inconnues xei a-\- x, qui ont pour différence a, sont les deux côtés d'un rectangle dont Taire est égale à 6'.
,;p Décrivons un cercle dont le diamètre soit égal à a (fig. 29); menons à ce cercle une tangente AB égale à 6 , et construisons le diamètre CD qui passe par le point B: je dis que les racines de Téquation (2) selig. 29. ront représentées l'une par BC , et
l'autre par — BD; car on a Téquation
BGxBD = 6^
que l'on peut mettre sous Tune et Tautre des deux formes BCx(a + BC)=:6^ — BDx(a — BD) = 6«.
DES COORDONNÉES REGTIUGNES.
