W OB PA""OA

ou, en faisant OA = a, OB = fr,

=-, d'où y=- o — a?) = 6 ,

Telle est l'équation de la droite AB. Mais, pour que cette

DES COORDONNÉES REC^'ILIGNES. 58

2lusion soit pleinement justifiée, il faut montrer que l'équaprécédente est satisfaite par les coordonnées d'un point la droite ÂB, dont les coordonnées ne sont pas toutes K positives. Soit d'abord un point tel que M', dont Tabse est n^ative et dont Tordonnée est positive ^ on a

UVb FA ""ô'

MT' = y, VO = — x et FA=— a? + o; ic on VL, comme précédemment,

i enfin M'^ un point dont l'abscisse est positive , mais dont donnée est négative; on a

= - ou — - — = - •

ome dans les deux premiers cas.

Unsi réquation

satis&ite par les coordonnées de chaque point de la droite ; c'est donc Téquation de cette ligne.

GÉOM&TRIK ANALYTIQUI A DWX DIMIMSIONS.

Atmorf iif . Nous avont iiipposé qom \m pointe A «t B sont ûtués lur let partiel 0» ai Oy daa aiaa afwei^i mak tme marcha viemblabla k aella que noui a?ons suivie , peut être employée dans les différentes hypothèses que Pon peut fsire sur la position da la droite donnée relativmnwit aux axes. Nous reviendrons , au surplus , avec détail , sur l'équation de la ligne droite.

Circonférence de cercle.

54. Prenons deux axes reotaogttlaîres (|$g, 33), 9à§mt par le centre du cercle.

Menons l'ordonnée MP d'un point quelconque M

da la circonférence 9 et

tirom te rayon (Mi ^ triangle rectangle OMP T doime :

MP'+OP'=Om';

or MP = + y ou =«««yi

suivant que le point M

esi sur la demi-circonférence ABA' ou sur AB'A'; pareillement 0P=+ a? ou == — X, suivant que le point M est sur BAB' ou sur BA'B'. Donc, en désignant par r le rayon du eansle, on a pour chacun des points de la circonféranee

(zhj?)^ + (±:t/)*==r* ou a;' + y*==r*.

Telle est l'équation de la circonférence.

»BS COORDONNftBB RECTILI6NI8.

ElHpu.

55. L'ellipse ( n° i) est une courbe plane telle qim ^ somme des distances de ehacgf) de §^ points à deux points fixes, appelés fayersj soit constante.

Prenons deux axe^ rec-

tangulaires (fig. 34 )y 4ont Fun. celui des x, passe par les foyers F et F ^ et l'autre par |ç milieu de la droite FF.

Npffs désignerons par 2c la distance da» foyes«i «| par 2a la somme des distances de ces foyers à un même point de la courbe. Soit M un point situé sur le premier quadrant AB de l'eUipse ; menons Tordonnée MP et tirons les droites F'U ^ FM ; ]e$ iapiangles re(itftj9g)ei FMP et FMP donnent :

d'oh, en retranchant ,

Wl ^FM =FP'— PB ,

(FM— FM)X(FM + FM) = (FP— FP)x(FP + FP); or, on a

il suit de là que Tune des longueurs FP 4-FP et PP— FP

^ GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A j)RUX DIMENSIONS.

est égale à âc, et que Tautre est égale à 2i;; enfin ^

lFM+FM=:2aj

donc