OP, OP

.sinOP,H OH sin(6— a)

1— ou — — — ^

rinOHP/ OP.

sinP^OH sinOHP/

PJI

ou —2— =

sin6

sma sinS*

62 GtOMtiTRlB ANALmOUB k DEUX DIMENSIONS.

d'où

0H=^."^.(*— > et M = ^V un 6 * «n^

PareillemeAt le triangle MP,R donne

P^K8tnt>.MK P,lL sin(e— et*)

îff;-8lftP;iS' **" y. ~ sinO '

MK gJnMP.K MKsin»' MP, ^ 8inP,KM ' y, "sinO

n vient, par suite,

sinO jr.sina + f/tSina' ^ sinB

L'angle 6 est compris entre 0 et i80>, mais chacun des angles a et a' peut varier de 0 à 360'.

Les formules pYétédetiles n^Oht été établies que dans Ihypothèse a < a' < e ; de plus, nous avons supposé positives lè^ quatre coordonnées œ, y^ lt^^ y^ ; mafe on peut s'Miurer que ces formules sont générales, en appliquant à tous les divers cas qui peuvent se présenter les raisonnements dont nous venons de faire usage; ûous n'entrerOhà pas, pQv» le momèllt, dans le détail de cette diBelission , ei nous àdMIttons la généralité des formules, sur lesquelles nous reviendmns d'ailleurs dans la suite de cet ouvrage.

DES COORDONNÉES RECTIUGMES. M

Câ$ général de la iramfwmuÉMH du eoor impies piet. Supposons qu'on veuille passer d'un sysIèdM

à un autre système d'axes d'origine et de directions intes. On pourra faire le ohangetaent en deux fois ; transd'abord les axes parallèlement à eux-mêmes à la nou- »rigine^ pIM èhàtii^r «hstlité teltf fS)rëdlOfi. tl est évtd'après cela^ que si j? et y désignent les anciennes )nnées d'utl pbÏAl, x^ et jf ^ lés nouvelles coordonnées ime point , ùil tiUfli

,,fe . a?,sin(» + y,sin«\ ^"" "^ sine '

les où a, 6, 0^ a, a' ont la même sigAifioalioa ^e lemment.

Fommlei de lra$ufêrmaiùm reMiim amemdm eoéK sr reciangulairei. Si les nouvelles coordonUéeé soairei» ^ires, on a

ftHniUés généràii» du n"" 61 dei^nnêM :

<?^8ia(6^e>)*^ly^itos(S««-fc)

^ . c«siti«-j-y.eosa

^ ' SlfiS

itt dE^ateuré lès anciennes coordonnées sonl feciangumi a : ^ =W; et les formules du n*" èi âevienâent :

•4 GÉOMiTRIS ANia.YTlQUË A DEUX DUID«810NS.

Enfin y si les nouvelles coordonnées sont rectangulaires, en même temps que les anciennes^ il faut fisire

dans les formules précédentes, qui deviennent :

x=a'^x^cos(i — y^sina, y=b +^iSina+yjCOS«.

Toutes ces diverses formules se simplifient , dans le cas où l'origine des coordonnées reste invariable. On a effectivement alors

Remarque. Les anciennes coordonnées d'un point sont^ dans tous les cas^ des fonctions linéaires des coordonnées nouvelles. C'est sur cette remarque importante que repose la classification des lignes algébriques dont nous allons nous occuper.

63. Cloêgi/icaiion des lignes algébriques. Une ligne est dite algébrique ou transcendante, suivant que son équation est elle-même algébrique ou transcendante. Les lignes algébriques, dont nous aurons surtout à nous occuper, se classent naturellement d'après le degré de leur équation en coordonnées rectilignes. Ainsi une ligne est dite du premier, du deuxième, etc. degré, suivant que Téquation algébrique qui la représente est elle-même du premier, du deuxième, etc. degré. Mais une pareille classification ne serait d'aucune importance, si le degré d^une ligne pouvait avoir diverses valeurs, suivant que cette ligne serait rapportée à tels ou tels axes de coordonnées. Nous allons montrer qu'il n^en est point ainsi et que le degré d'une ligne algébrique reste le même, quds que soient les axes auxquels on la rapporte. Considérons* en

0ES CSOORDmMËES RCdlLMSlOBS. 65

, une ligne qui^ rapportée à demt axai rectilignes^ soit représentée par une équation du degré m,

Désignons par x^ ety, les coordonnées de cette même ligne rapportée à deux autres axes quelconques. Puisque a? et y sont des fonctions linéaires de x^ et y^ y la substitution de ces fonctions à rc et y dans l'équation n'en élèvera pas le degré. Je dis de plus que le degré ne sera pas abaissé; car autrement, en remettant au lieu de x^ et y^ leurs valeurs qui sont à leur tour des fonctions linéaires de x et de y, le degré se trouverait élevé, ce qui est impossible.

64. Lorsqu'une équation algébrique du degré m, ramenée à la forme

résulte de la multiplication de plusieilrs autres équations de degrés inférieurs ^ l'ensemble des lignes représentées par celles-ci constitue le lieu de l'équation proposé^. Ainsi dans la catégorie des lignes du degré m^^il faut coqij^ndre, comme cas particuliers, toutes les lignes de degrés inférieurs. En particulier, l'équation du deuxième degrés que 1-on obtient en multipliant entre elles deux équations du premier degré, représente un lieu qui est formé de deux lignes du premier degré, mais qui participe également des lieux du deuxième. Cette considération, dont on fait souvent usage > est d'une haute importance. Les équations qui appartiennent proprement au degré m, c'est-à-dire, celles qu'on ne peut décomposer en plusieurs autres, sont nommées équatim$ irréducHbles.

65. La propriété caractéristique des lignes du degré m consiste en ce qu'une droite ne peut les rencontrer en plus

6C GÊOMÊTiOE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS.

de m pomts. ëd effets prenons pour axe des x la droite dont il s'agit; en faisant y=0 dans Téquation de la courbe, l'équation en or, que Ton obtiendra, aura pour racines les abscisses des points d'intersection de la courbe avec la droite; mais cette équation est au plus du degré m, et par suite elle a au plus m racines réelles; ce qui démontre la propriété énoncée.

Remarque L Cette démonstration suppose que^ pour y =0, l'équation de la courbe ne se réduit pas à

Lorsqu'il en est ainsi, le premier m^oibre de l'équation proposée est divisible par y, et l'équation se décompose en denx autres dont Tune ,

est œDe de la droite donnée.

Remarque IL Les lignes du premier degré, ne pouvant être rencontrées par une droite qu'en un seul point , sont nécessairement des lignes droites.

DES tiQffA'mm WfKRMim DRGRÏ k DWX VARIABLES. 67

Bm