MT^ MP OF' ""OF
ou
MT"=axOF%
ce q(A ipontre qu'on satisfait à Téquation proposée en faisant a? == OF",t/ = MT'.
DES fiQUATlOMS DU PREMIËH DEGRÉ A DEUX YARUBLES. 71
Ce q\^ précède s'applique t^tu^lleoieni au c(t( de a néga^;
la seule différence e«t qu'au lieu de prendra te longueur MP oorreq[H>ndante h x = i dans 1^ o ? V p" £ sens Oy, il faut la porter
dans le sens opposé. La ligne droite OM(Bg. 41] sera alors le lieu représenta par l'équation pro- \ posée.
\ Nouspouvonsdû&cçon-
flg. 41. dure que toute équatk»
du premier degré , de la forme
y=ax,
représente une droite qui passe par l'origine des coordonnées. 69. Considérons enfin le cas général de l'équation
où aucun coefficient ne se réduit à :^ro.
Faisons — t = ^> et — -—~ft^ l'équation devient
n est évident qu'on obtiendra le lieu qu'elle représente , en construisant l'équation
qui , cotnme nous l'avons vu , appartient à une droite passant par l'origine . et en augmentant ensuite éhaque ordotuiée d'une quantité égale à h. Ce li^ sera donc une deuxième droite,
la QtxmÈnoE jwalttiqub k deux dimehsichs.'
menée parallèlement à la prenûèie par le point de l'axe des y qui a fr pour ordonnée. C^te ordonnée b est dite l'ordotuté» à l'origine de la droite.
On volt que l'équation du premier degré.à deux variables représente , dans le cas général , une droite qui rencontre les deux axes.
La figure 42 est relative au cas de a> 0^^ b> 0 , et au cas de(i>0, 6<0;Ufigure43 5eFaiq)orteaucasdec<0, fe>0, et su casdea<0,6<0.
70. Réciproquemait, toute ligne droite est représentée par une équation du premier degré. Nous allons démontrer généralement cette proposition dont nous nous sommes déjà occupés au n' 53.
On voit d'abord que toute droite parallèle à l'axe des y est représentée par une équation de la forme
En effet, soient BC (%. 39) la droite donnée et « 1'^ acisEe du point où elle rencontre l'axe des a: ; il est évident que, pour chaque point de BC , on a
Cette équation est donc celle de la droite. On verrait de même qu'une parallèle à Taxe des x a une équation de la forme
Considérons, en deuxième lieu, une droite telle que OM (iig. 40 et 41) qui passe par l'origine des coordonnées. Prenons 0P=1 , menons FM parallèle à l'axe des y et faisons PM=a; la droite OM sera (n*" 68) le lieu de l'équation
y = ax.
Considérons enfin une droite telle que ÂB (fig. 4â et 43), qui rencontre Taxe des y, en un point B dont Tordonnée soit h. Menons y par l'origine , OM parallèle à AB et soit
y=ax,
l'équation de OM; la droite AB (n*" 69) sera le lieu de Téquation
71. La direction de la droite représentée par Téquation ^z=:ax-\'h,n'd dépend que de la quantité a. Cette quantité a reçu le nom de coeffUderU angulaire ou d* inclinaison. L'ordonnée à Forigine b est souvent désignée par la dénomination de coefficient linéaire.
72. On peut donner, à Téquation du premier degré > deux fomies qu'il importe de remarquer. Soit
Ay+Br + C=0,
l'équation d'une droite rapportée à des axes quelconques. On aura l'abscisse a du points où cette droite coupe Taxe
Géométrie: analytique a deux dimensions.
des x^ en faisant y =0 dans son équation ; on obtient ainsi :
o= — ^ d'où B=:
On aura^ de même , l'ordonnée b du point où la droite coupe Taxe des y, en faisant :r r= 0 dans son équation; on obtient ainsi :
6=—^ d'où A =— ^.
Remplaçant , dans Téquation proposée , A et B par les valeurs qu'on vient d'écrire et divisant ensuite par C, l'équation devient
C'est l'une des deux formes que nous avons annoncées.
En second lieu, désignons par p la distance OP de l'origine à la droite donnée AB (fig. 4i); par a et 6 les angles compris entre 0 et 1800 que forme la direction OP avec les directions 04?et0y;les trianglesrectangles OAP et OBP donnent flg. 44. p=acosa=6cosê.
Ces équations ont lieu dans tous les cas, car a et cos a sont toujours de mêmes signes, ainsi que 6 et cosê. Si Ton tire les valeurs de a et 6, et qu'on les porte dans l'équation (i), celle-ci devient :
DES teDATIOmS DU PREIIIER DEGRË A DEUX VARIABLES. 75
Si les axes sont rectangulaires, on a6=s±(90'^-*-at) et l'équation (2) devient :
a;cosoi4'tfsina=p.
Cette dernière forme de l'équation de la lighe droite est Wès4réquemmeut employée.
