MP

OP ' donc

sm a sin a

o= . , ■ ,, ' ou <l=-r

sin(a— e)' ""sinlô— a)'

comme dans le cas de a positif.

On tire de cette équation , en chassant le dénominateur et divisant ensuite par cosa^

a sin 0

tanga = r— ; r.

n faut bien remarquer que, dans cette formule^ a désigne toujours Tangle formé par la direction des abscisses positives avec celle des deux directions de la droite donnée qui s'étend du côté des y positives. Cet angle peut varier de 0 à 180*^1

Si les axes sont rectangulaires, on a

et la valeur de tanga se réduit à

tang a = a.

75. Problème II. Connaissant Vangle qu*une droite fait avec Vaxe des x ainsi que l'ordonnée à Vorigine, trouver Véquation de cette droite.

Soient b l'ordonnée à l'origine et a Tangle que la droite donnée fait avec l'axe des a?; l'équation sera, dans le cas général (n« 74) ,

«in« , ,

DES ËQUATtms DU PREMIER DEGRÉ A DOnt VARIABLES. 19

et, dans le cas des axes rectangulaires^

76. Problème III. Trouver Inéquation de la droite menée, par un point donnée parallèlement à une droite donnée.

Soient M(a7', y') le point donné (*) et y=zax la droite donnée qu'on peut supposer lùenée par Torigine. La droite cherchée (n** 70) aura une équation de la forme

(1) y=:ax + by

dj puisqu'elle passe par le point M , on aura :

(2) f^=ax' + b,

cette dernière équation détermine b, et il ne reste plus qu'à porter sa valeur dans Téquation (1). L'élimination de 6 se fait immédiatement^ en retranchant les équations (1) et (2) l'une de l'autre; on obtient aîtisî Véquation demandée , savoir :

Remarqua. En considérant a comme susceptible de prendre toutes les valeurs possibles, la précédente équation représentera toutes les droites qu'on peut mener par le point {x\ sf').

77. Problème IV. Trouver réquoHon de la droite qui pfttse par deux points donnés.

Soient {sf,yf) et [aif, i/") les deux points donnés. La droite dterchée, passant par le point {x', t()y aura une équation de hfonne

y—^z=za[x---œ')\

n Par cette notation M(â^, y'), nous désignons le point M dont les coordonnées sont as' et i^.

GËOMËTRIE ANALYTlQUS k IMBdX UlIlSMSIONS.

mais, parce qu'elle passe aussi par le point (œ^, y^, on aura : y''-^ = a(x^'--af) d'où a = Ç^,;

réquation de la droite cherchée est donc:

Remarque I. Cette analyse semble en défaut dans le cas de x'^=x'; mais on sauve cette difficulté^ en chassant le dénominateur x" — xf de l'équation précédente, et en faisant ensuite oc''=af. On voit d'ailleurs immédiatement que, dansée cas, la droite cherchée est une parallèle à Faxe des y dont l'équation est

Remarque IL On a souvent besoin de connaître le coefficient angulaire de la droite qui passe par deux points donnés (a/, y'), (^', jy") ; il est important de se rappeler que ce coeffi-

cient angulaire a pour valeur

78, Problème V. Trouver la diskmce de deux points dont on connaît les coordonnées.

Supposons d'abord les

axes rectangulaires , et soient

M'(a:',î/'),MV'.2/'0 les deux

points donnés,que noussup-

poserons situés dans l'angle

F" yOo? (fig. 47); menons les

ordonnées M'P' et MT" et,

par le point M'', la droiteM"K

g ^^ parallèle à l'axe des x; le

DES tlK^ATIONS DU PREMIER DEGRÉ A DEUX VARIABLES. 81

triangle rectangle M'M'^K donnera :

ou, en remplaçant FP" et JViTC par leurs valeurs d — x" et

Il est aisé de vérifier que cette formule a lieu pout* toutes les positions qu'on peut assigner aux points M" et M'. En désignant donc par R la distance M''M', on aura, dans tous les cas,

R«=(a:'— a/')' + (!^— yT d'où R= ^/(j^— j/0' + (y'--y'0*'

Considérons maintenant le cas des axes obliques et

supposons toujours , pour fixer les idées, les deux

pointsM'(ic',y'),M''(a/',i/'0 situés dans l'angle yOa?.

Menons les ordonnées

MT", MT'(fig. 48), et la

— droite M'H parallèle à sdx.

On aura, dans le triangle

M'WK,

fig. 48.

WW = M'^K + M'K — 2M''K X M'K X cos WYM.

Remplaçant M'^K et M'K parleurs valeurs, al — x" eti/' — y", et désignant par 6 l'angle j/Oa?, par R la distance M"M', il vient

d'où

R = ^(^'-x'r +(y -y'O'+aia/— a^'Oi»'— y")cose.

Il est facile de vérifier que cette formule est génértde.

79. PROBiiiiB YI. Étant données les éqiuitions de dmx droites^ trouver Us coordonnées de leur intersection.

-Soient

y=zax-\-b y = a'x-\-b'

les équations de deux droites. Les coordonnées do leur intersection doivent satisfaire aux équations précédentes; et, réciproquement^ le point dont les coordonnées satisfont à ces équations appartient aux deux droites.

Des équations précédentes^ on tire :

b'—h , ab'—ba'

ce sont les coordonnées du point cherché.

Si a est égal à a' et que b soit différent de 6', les valeurs de a; et de j/ sont infinies. Dans ce cas , les droites sont parallèles, et leurs équations n'ont pas de solution commune.

Si l'on a en même temps a = a' et 6 = b', les valeurs de x

et de y ont la forme -. Dans ce cas les deux droites coïncident.

80. PROBiiacs VU. Étant données les éqiuUions de deux dfoiies, trouver V angle de ces droites :

!•» Supposons les axes rectangulaires, et soient

y = aaî et y=:a'ûc

les équations des droites données AB et A'B' (fig. 49), menées par Torigine, parallèlement aux droites données.

Désignons par V Tangle F BOB', formé par les parties de ces droites qui sont situées au-dessus de l'axe des jr, et soit

B0a7=a et FOa?=a'.

i+tangatanga

7, ou tangV =

a — à I + aa''

Cette formule détermine l'angle V, puisque cet angle est compris entre 0 et 180*.

Remarque. Pour que l'angle V soit droite il faut et il suffit que l'on ait

i+aa' = 0;

^ Supposons les axes

obliques et désignons par

e (fig. 50) Tangle que

® forment les directions Ox

et Oy.

* On a (n« 74)

tanga =

asinO

et tanga'=:

1+acosB a' sin e

l-fa'cose '

puis

asinô à'sinô

taiigV =

l+acos6 l+a'cos6

aa' smH '

■^(l+acos6)(l+a'cos6) ou

lang. ^ ^ao' + (a + o')cose'

Remarque. La condition, pour que les droites données soient perpendiculaires^ est dans ce cas :

l + aa' + (a + a')cose==0.

81. Problème VIII. l'rouver V équation de la perpendiculaire menée par un point donné sur une droite donnée. Soient M (x', y') le point donné et

y=zax-\'b

l'équation de la droite donnée. La perpendiculaire cherchée^ passant par le point donné , a une équation de la forme

eif comme elle est perpendiculaire à la droite donnée ^ on a, si les axes sont rectangulaires ,

aa' + i=0 d'où

l'équation demandée est donc^ dans ce cas,

Si les axes sont obliques , le coefficient inconnu a' sera donné par l'équation

l+aa' + (a+ a') co8e=0, d'où Ton tire :

, — i — aco86

a+cos6 ^

réquation demandée est donc

, — 1— acos6

^ ^ a+cose ^ '

82. Problème IX. Trouver la distance d'un point donné à une droite donnçe.

Soient 6 l'angle des axes , M(j?', y') le point donne et

(1) y=ax+b

l'équation de la droite donnée.

L'équation de la droite menée par le point M , perpendiculsirement à la droite donnée , est

en faisant, pour abréger,

1 + a cos B

L^équation (1) peut s'écrire ainsi :

y — \/ = a{x—a:f) — (}/—aûif—h)^

et j en la combinant avec Téquatiop (% on obtient:

t/—ax'-^b .., ,y'—ax'—b

Les valeurs de x et y y données par ces équations, sont les coordonnées du pied de la perpendiculaire abaissée du point donné sur la droite donnée ; si donc on désigne par R la grandeur de cette perpendiculaire, on aura :

R^={x-xr + {y-y'r+^[x-x'){y — y')cos^ = ou , en remplaçant a' par sa valeur

^,(y— fla?^— fe)'sinH "" 14-2àcosô + a« '

-|-2àcosô + et

{y' — ax' — 6) sine

v/l+2acosO+a«

Dans cette expression, le radical doit être pris avec le signe + ou le signe —, suivant que y' — ax' — h est positif ou négatif.

Si les axes sont rectangulaires, la formule se simplifie et devient :

y' — ax'-rh R = , .