Si Péqjifttion de la droite donnée avait la forme
on en tirerait :
et ta distance R^ du point [x\ y') à cette droite, se déduirait de la formule que nous venons de trouver^ en remplaçant a par
— j et b par — ^; il vient ainsi :
(At/' + B^ + C)sine
V^A* — 2AB cos e + B' ' et, pour le cas des axes rectangulaires ,
ky' 4- Bj?' + G
Dans le cas des axes rectangulaires^ et si la droite donnée a pour équation
y sin a + £c cos a =p,
la distance du point (x\ \() à cette droite sera simplement
R = db (î/'sino -|- jî'cos o — p).
Ici nous mettons le signe ± parce que toute trace de radical a disparu.
84. On voit, par ce qui précède, qu'une fonction linéaire, telle que
Ay+Bar + C
représente > à un facteur constant près, la distance du point dont X ei y sont les coordonnées , à la droite qui a pour équation
At/ + Rr + C = 0.
Cette remarque est très-importante.
EQUATION DU CERCLE.
8S. On obtient immédiatement Téquation de la circonférence de cercle 9 en exprimant que la distance du centre à un point quelconque de la courbe est égale au rayon.
Soient donc xeiy les coordonnées d'un point de la circonférence , a et 6 les coordonnées du centre, et R le rayon; on aura (no 78) :
(1) {^x—aY + (y—by + %x—a) [y— h) cos e = R'-.
C'est réquation générale de la circonférence, dans Thypothèse où les axes font entre eux un angle égal à 6.
Si les axes sont rectangulaires, on a 6=90", et Téquation précédente devient :
(2) (x-aY + {y-bY=RK
Lorsqu'on prend pour axes deux diamètres perpendiculaires, on a a=0, 6=0, et Téquation se réduit à
comme on l'a déjà trouvé (n° 54).
Enfin il est bon de remarquer la forme de l'équation de la circonférence, lorsqu'on prend pour axes une tangente
DES ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ A DEUX VARl ARLES. 89
quelconque et le diamètre qui passe par le point de contact. Supposons y par exemple^ que Taxe des y soit tangent et que Taxe des x passe par le centre^ il &udra faire dans l'équation (2)
et cette équation devient alors :
(a?— R)* + ï«=RS
ou , en développant ,
y*+a;*— •2ftr=0.
80. Uéquation de la circonférence est du second degré , mais elle ne constitue qu'un cas très-particulier des équations du second dçgré, dont la forme générale est
(i) Ay* + Bxy + Cx* + J)y + Ex + F=0.
Il est facile de trouver les conditions qui doivent être remplies pour que la précédente équation appartienne à une circonférence de cercle. Pour que cela ait lieu , il faut que l'équation (1) puisse être identifiée avec Téquation
(x— a)* + (y— i>)« + 2(a?— a) (y— 6) cose— R«=0
qui , en développant , devient :
(2) î/'+2a?y cos 6 + j;*— 2(6+ acosô) y — 2(a+ 6 eos 6)a; + a^ + 6« + 2a6cos6— R«=0,
par suite, il faut que les coefficients des termes semblables
90 OËOMtTRIE ANALYTIt^E A DEUX DllOSIISIOlfl.
soient proportionnels. En exprimant cette condition ^ on trouTo:
(3) 5=2cose, ^ = 1,
5=— î(6 + acos6)
(4) { ?=— 2(a+6co8 6)
Les équation (3) donnent :
(5) A=C, B=:2Acose;
ce sont les conditions nécessaires et suffisantes pour que l'équation (i) représente une circonférence. Lorsqu'elles sont remplies^ les trois équations (4) feront connaître les coordonnées du centre et le rayon du oerde.
Dans le cas des axes rectangulaires ^ on a cosO=sOy et les équations de condition (5) se réduisent à
Ainsi pour qu'une équation du second degré appartienne à une circonférence^ dans le cas des coordonnés rectangulaires, il faut et il suffit : 1^ que les coefficients des carrés des variables soient égaux; ^^ que Téquation ne renjkrme pas le rectangle xy des variables.
DE^ ÉQUAHOIfS DU PREM}ER DEGRÉ A DEUX VARIABLES. 91
Cr&ERClClUi«
Questions résolues.
87. Question I. Trouver téquation générale des droites, qui passent par le point de rencontre de imsB droites données par leurs équations.
Nous représenterons simplement par
les équations des droites données; AetB seront alors des fonctions linéaires de x et y. Gela posé, je dis que l'équation cherchée est
(2) A + wB = 0,
m désignant un coeflBcient indéterminé.
En eflfet, on voit d'abord que Téquation (2) représente une droite, quel que soit m, puisqu'elle est du premier degré ; en deuxième lieu cette droite passe pai^ le point de rencontre des droites (1)^ car l'équation (2) est évidemment satisfaite par les valeurs de â? et y qui satisfont aux équations (!)• Enfin l'équation (2) représente toutes les droites qui passent par le point de rencontre des droites (1) ; car, à cause de l'indétermination de m, on peut assujettir la droite (2) à passer par tel point que Ton voudra.
88. Question H. Démontrer, par les principes de la géo^ métrie analytique, que les perpendiculaires abaissées des sommets (fun triangle sur les côtés opposés se coupent eh un mime point.
Prenons deux axes rectangulaires quelconques, et soient
y — ax — a = 0, y — bx — 6 = 0, y — ex — ^ = 0,
OU; pour abréger,
les équations des côtés BC^ AG^ AB du triaDgIe ABC (fig. 51).
Toute droite AA', qni passe par le point A^ a une équation de la forme
B+mC = 0,
ou
fig. 51.
(1 + m)y — (6 + mc)j?— (6 + my) = 0.
Le coeflScient angulaire est —■ — ; si donc AA' est perpendiculaire sur BC , on a (n<» 80)
b + mc , . ^ 1, « 064-1
^ Xa + i=0, d'où m = — -
et l'équation de la droite AA' sera
ac + i'
B— ^44g = 0 ou (ac+l)B==(a6+l)C.
Cette analyse montre clairement que les trois perpendiculaires AA'; BB', CC'; abaissées des sommets du triangle ABC sur les côtés opposés , ont respectivement pour équations
(ac + 1)B:
(ah + 1)C :
(a6 + l)G, (6c + l)A, (ac + l)B.
il est évident que les valeurs de x et y, qui satisfont à
quelconques de ces équations, satisfont aussi à la troi-
) 9 ee qui prouve que les droites qu'elles représentent se
mt au même point
K Question III. Trouver réqucUion de la ligne qui divise
MX parties égales Vangle de deux droites données par
équations.
ent
y — ax — 6 = 0, y — a'x — 6'==0
uations des droites données uu' et w' (fig. 52). rapportées aux axes Ox et Oy qui font entre eux Tangle 6.
Soient '^{x^ y) un point de la droite tH^ qui divise l'angle tiGt? en deux parties égales, MP et MQ les perpendiculaires abaissées de M sur Ct? et Cti, on aura :
MQ = MP;
fig. 52.
îurs
^f(y — ax—h)s\n^\ (y — g'a? — y)sine
v/l + 2acose+a'' v/l +2o'cos6 + a'*'
y — ax—h __ y^a'x—V
v/i+2ocose-f a*"" v^4+2a'cos6 + o'»
- «ar - 6 = V /ï±5^ï±Z (« a'ar - 60 ;
V l+2a'cos6 + a"^"
c^'est, évidemment; l'équation de la droite demandée. . gLanarque* Le radical du second membre doit être pris suco^ssiveiiieiit avec le signe -|- et avec le signe — ; on obtient ainsi les équations des deux droites qui partagent en deux partieségales les quatre angles formés par les droites données.
80, Question IV. Trouver V équation de la droite qui joint les points d'intersection de deux circonférences, données par leurs équations.
Soient
(1) (^a)* + (y 6)* = KS
(2) [x-ar + [y-h'f-=^\^\
les équations de deux circonférences^ rapportées à des axes rectangulaires quelconques.
En retranchant ces équations membre à membre^ il vient:
le lieu, représenté par cette équation, passe évidemment par les points communs aux circonférences (1) et (2)j elle est d'ailleurs du premier degré ; car, en effectuant les calculs^ elle se réduit à
%a—ct!)x + 2(6 — b')y + a'* + 6'^ — a^ — h^ = R'*— R«, ou
(3) (a-a>+(6-fe')y= i (a«+fe«-R«)- i (a'«+6"-R'«) ;
donc la droite cherchée est celle que représente Téquation (3).
91. Question V. Étant données trois circonférences, démontrer que les droites qui joignent les points dHntersection de ces circonférences, prises deux d deux , se coupent au même point.
Soient pour abréger
les équations des trois circonférences^ rapportées à deux axes rectangulaires. Les cordes, communes à ces circonférences considérées deux à deux , ont pour équations :
ou
il est évident que ces trois droites se coupent en un même point pour lequel on a :
92. Question VT. Trouver VéqtuUion du lieu des sommets des triangks, qui ont un côté AB et Vangle opposé à ce côté communs.
Soit ABC (fig. 53) Tun des triangles dont il s'agit; nous
prendrons pour axe des x le côté donné AB^ et pour axe des y la perpendiculaire à AB c menée par son milieu 0 ; nous
ferons
AB = 2a et ACB=:to.
Si j; et y désignent les coorfig. ss. données du point G^ les droites
BC et AG auront pour coeflScients angulaires (n"" 77) :
et
on a donc:
d'où
ta„g.= .^-^^ = ^^^.— ;
tango
c'est l'équation du lieu cherché. On peut l'écrire ainsi :
\ tango)/ sm'co'
et Ton voit qu'elle représente une circonférence dont le rayon
est éffal à -: — et dont le rentre, situé sur Taxe des y, a pour sinco
ordonnée
tangco
On déduit facilement, de ce qui précède, la règle donnée en géométrie élémentaire, pour construire sur une droite donnée un segment capable d'un angle donné.
Questions à résoudre,
9, 1. Étant donnés un angle yOx et un point P (tig. [54),
on mène les sécantes PBA, PB'A' qui coupent respectivement les côtés de l'angle aux points A,B, A',B'; puis on tire les droites AB', A'B qui se coupent au point M. Cela F posé , on demande quel est le flg. 54. lieu décrit par le point M , lors-
qu'on fait tourner Pune des sécantes autour du point P. On fera
voir que ce lieu reste le même, quand on change la position de la sécante considérée comme fixe.
n. Étant donné un angle yOx et un point P, on mène la sécante PBA et Ton détermine, sur cette sécante , un point M tel q!ie Ton ait
