CHAPITRE IV

GONSTRUCTION DES EQUATIONS DU SECOND DEGRE. — DIVISION EN TROIS GENRES DES COURBES Qu' ELLES REPRESENTENT.

93. L'équation générale du second degré à deux va^ riable$ est :

(1) Ay» + Bxy+(liî*+Dy+Ea?+F==0.

Supposons que Ane soit pas nul, et résolvons l'équation (i) par rapport à y, on aura :

Faisant pour abréger

B«— 4AC = mj BD— 2AE=n; D*— 4AF=p,

l'équation (2} devient :

lôO GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS.

La partie rationnelle — — , commune aux deux racines,

est l'ordonnée d'une ligne droite

supposons que L'L (fig. 56) soit cette droite. Pour avoir les

points du lieu de Péquation (1), qui correspondent à une abscisse OP^ il suflSra de mener, par le point P, une parallèle à l'axé" ~ Gy, et dé porter sur cette parallèle , à partir du point N où elle fig. 58. coupe la droite L'L ,

au-dessus et au-dessous de L'L, deux longueurs NM et NM' égalés k là valeur absolue que prend l'expression

. tJtz V-

pour la valeur de x qui répond au point P. On aura effectivement en supposant, pour fixer les idées, que les ordonnées des points M et M' soient positives,

PM=PN + NM= ^ + — ^mx'^inx + p,

JW -\-T) 4 j

PM' = PN — NM' =— ^^ ^ \/mx» + inx + p.

On obtiendra toos les points du lieu de l'équation (1), en

DES ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ Â DEUX VAHiÂbLEi». 101

exécutant la même construction pour chacune des valeurs le Xy auxquelles correspond une valeur réelle de l'expression

— v/ww;'' + *»» + p. ^

La droite L'L, qui divise en deux parties égdes toutes les cordes de la courbe menées parallèlement à Taxe des y, est dite un diamètre de la courbe. En général, on nomme diamètre d'une courbe toute droite qui divise en deux parties égales un système de cordes parallèles.

La longueur^ représentée par l'expression

est dite Vordonnée comptée à partir du diamètre; nous la représenterons par Y , en sorte que Ton aura :

94. Pour' que la valeur de Y ou de t/ soit réelle, il faut et il suflSt que le trinôme mx^-\-^nx-\-p soit positif ou nul. Or, un polynôme a le même signe que son premier terme pour toutes les valeurs positives ou négatives de la variable qui dépassent une certaine limite. 11 est donc naturel de distinguer les trois casde m<0, m = 0, m> 0.

1° Soit m <0 ou B* — 4fAC <0. L'ordonnée Y sera imaginaire pour toutes les valeurs positives et négatives de x qui dépassent eeriaines limites, d'où il suit que le lieu de l'équation (1) est une courbe limitée dans le sens Ox et dans le sens Oo;'; et, comme Y ne peut être infinie pourries valeur» finies de Xy IsL courbe sera lûmtée mm dans fe' sens Oy

et dans le sens Oy'. Cette courbe , limitée dans tops les sens^ a reçu le, nom à* Ellipse.

2" Soit m > 0 ou B* — 4AG > 0. L'ordonnée Y sera constamment féelle pour toutes les valeurs positives et n^atives de X qui dépassent certaines limites; en outre cette quantité croit indéfiniment avec x , d'où il suit que le lieu de l'équation (1) est une courbe qui s'étend à l'infini de part et d'autre de Taxe des y, au-dessus et au-dessous de l'axe desâ;. Cette courbe a reçu le nom d'Hyperbole.

3° Soit m = 0 ou B«— 4AC=0. L'ordonnée Y est égale à v/2nj? +p; et, si n est positif, elle est réelle pour toutes les

valeurs de x comprises entre — ~- et + oo , mais elle est

imaginaire pour toutes les valeurs de x comprises entre — ^

et — oo. La courbe s'étend donc à l'infini dans le sens Ox, mais elle est limitée dans le sens Ox'. Elle serait, au contraire, illimitée dans le sens Ox' et limitée dans le sens Ox, si n était négatif. Dans les deux cas^ elle s'étend à l'infini audessus et au-dessous du diamètre. Cette courbe a reçu le nom de Parabole.

En résumé, l'équation (1) peut représenter trois genres de courbes : les Ellipses qui sont limitées de toute part et dont le cercle (n** 86) est un cas particulier; les Hyperboles qui Oui quatre branches infinies, et les Paraboles qui en ont deux (*).

95. Ce qui précède suppose que A ne soit pas nul; nous allons montrer actuellement que, dans l'hypothèse de A=0, le lieu représenté par l'équation proposée appartient nécessairement à l'un des trois genres dont il vient d'être question.

(*) Nous avons d^à considéré chacune de ces trois courbes , dans le chapitre II, en lesd^nissantpar i'une de leurs propriétés géométriques.

DES ÉQUATIONS DU SECOND DEGRË A DEUX VâHIABLES. 103

8i A est nul et que B ne le soit pas , la quantité déterminante B^ — 4ÂG est positive^ et la courbe appartient au genre Hyperbole; je dis que la courbe a effectivement quatre branches infinies. Cela se voit immédiatement si C n'est pas nul^ car^ en résolvant par rapport à x, on trouve :

''^~ ^^i^ "^è V^B'y*+2(BE-2CD)y + E«-4CF.

Le coeflSciei^t de y* sous le radical est positif > d'où l'on peut conclure , comme plus haut ^ que le lieu s'étend à l'infini dans le sens Oy et dans le sens Oy', au-dessus et au-dessous de l'axe des ac.

Si l'on a à la fois A=0 et C=0, l'équation se réduit à

^xy +Dy + Eœ +F = 0 ; on en tire :

^ Bx+D ^^ By + E'

y est réel pour toutes les valeurs positives ou négatives de a?, d'où il suit que la courbe s'étend à l'infini dans le sens Ox et dans le sens Ox'-, on voit de même que x est réel pour toutes les valeurs positives et négatives de t/, d'où il suit (pe la courbe s'étend à Pinâni dans le sens Oj/ et dans le sens Oy'. La courbe a donc quatre branches infinies.

Si l'on a en même temps A = 0 et B = 0 , il en résulte B* — iAC = 0, et la courbe appartient au genre Parabole. Effectivement elle n'a que deux branches infinies, si D n'est pas nul; en effet, l'équation proposée donne alors :

C , E F V= — nX — —x — Ti; ^ D I) 0'

loi GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS.

on voit que, pour des valeurs de x positives et négatives suflBsamment grandes, y a le même signe que — - ; d'où il suit que la courbe s'étend indéfiniment de chaque côté de Taxe des x\ mais elle est limitée dans le sens Oi/ si — - est négatif, et

dans le sens Oy' si — - est positif.

Lorsque D est nul, l'équation, ne contenant plus que la variable x^ représente un système de deux droites parallèles à l'axe des y. On a effectivement :

x = liz— i/E'— 4CF.

Nous allons maintenant discuter chacun des trois cas distincts que présente Téquation (1).

Discussion de l'Ellipse (B*— 4AC<0).

96. Conservant les notations du n** 93, nous divi&çrons ce premier cas en trois autres, suivant que les racines du trinôûae ma;* +2wa:-f-p sont réelles et inégales, égales ou imaginaires.

Considérons, en premier lieu, le cas où les racines du trinôme, dont il s'agit, sont réelles et inégales; désignons ces racines par x' et x" ; supposons, en outre, pour fixer les idées, rc' et x" positifs et x' < x\ Soient X'X (fig. 57) le diamètre qui a pour équation

B;r+D B et B' les points où ce diamètre coupe la courbe ; si Ton

mène les ordonnées BP et B'F , a! et x!' seront les abscisses

^ ttg. 57.

des points P et P', et la valeur de Y sera

^ Vm (j? — a?') [x — x") ;

comme la quantité m est ici négative, nous la désignerons par — p.*, et nous écrirons

Pour que Y soit réel, il faut que x soit compris entre x* et ^' ; la courbe est donc tout entière située entre les parallèles il Taxe des ^, menées par les points B et B'. Gonmie Tun des facteurs x — a:', x!' — x croît en même temps que l'autre décroît, on ne voit pas immédiatement de quelle manière varie leur produit lorsqu'on fait croître a? de a:' à x". Mais si Ton remarque que ces facteurs ont une somme constante^ et que le produit de deux quantités variables , dont la somme est

constante , est d'autant plus grand que la différence de oès variables est plus petite, on reconnaîtra facilement de cpielle manière varie Y. Désignons effectivement par 2js la différence des facteurs x- — x', x" — x\ la somme de ces facteurs étant od' — rc', on aura:

, x" — x' x" — od

d'où Ton tire :

x'-\-xf' .

ce qui montre que z n'est autre chose qu'une abscisse, comptée à partir du point D milieu de PP. Cela posé, la valeur de Y devient :

^=ksl^^'-"-

pour« = — , on a Y=0; et siTon fait croître % de

— à zéro , ou a; de j?' à — - — , Y croîtra de zéro

à 7r(a?'' — a;'). Au contraire, Y décroîtra depuis cette va-

leur jusqu'à zéro, si l'on continue à faire croître z de zéro à -| — , ou 0? de — ^ — à xf'. On voit en particulier

que la valeur maximum de Y est --r- ( x" — a?' ) , et qu'elle

a?* + or" correspond à z = 0, c'est-à-dire, à a; = — ^ — qui est

Pabscisse du point D.

n ^résulte dé là que, si Ton mène^ par le point D, une pafallèla à l'a&e des jf , que l'on prenne sur cette ligne de paiH et

d'autre de X'X, les distances CE, CE' égales à ~r {xT — af)

et, enfin, que Ton mène par les points Ë,Ë' les droites IH, FG parallèles à X'X, la courbe sera comprise entre ces deux parallèles et n'aura, avec elles, que les seuls points communs Ë et E'.

En rapprochant ce résultat de celui que nous avons obtenu plus haut, on voit que la courbe, dont nous nous occupons, est renfermée tout entière dans le parallélogramme FIHG, comme l'indique la figure 57, et qu'elle rencontre les côtés de ce parallélogramme en leurs milieux.

Si Ton prend sur Oo? , à partir du point D, deux distances égales DK et DL, moindres que DP, les valeurs de Y correspondantes aux abscisses OK et OL seront égales; on a donc :

MR = MTl = NS = N'S,

d'où il suit que les triangles CRM, CN'S sont égaux; il résulte de là que CN' est le prolongement de MC et que le point C est le milieu de MN'. Le point C, qui divise ainsi en deux parties égales toutes les cordes qui y passent, est dit un centre de l'ellipse (n"" 7). Remarquons enfin que, MR et NS étant égales et parallèles , le quadrilatère MNSR est un parallélogramme, n s'ensuit que la corde M N est parallèle à X'X et que cette corde est divisée en deux parties égales par la ligne EE'. La même chose a lieu pour toutes les cordes parallèles à X'X; par conséquent EE' est un diamètre. Chacun des diamètres XK et EE' partage en deux parties égales les cordes parallèles k ràtitrè. Dèuit diamètres > qui ont cette propriété^ sont dits

97. Si les racines du trinôme mx^ + ^nx + p sont égales entre elles ^ on a, en désignant par x' leur valeur et en faisant, comme précédemment, m= — [x*,

d'où il suit que Y est constamment imaginaire, à moins qu'on ne fasse x=^x'. L'équation proposée n'admet donc aucune autre solution réelle que celle qui est commune aux deux équations

En d'autres termes^ le lieu de l'équation proposée se réduit à un points dont les coordonnées sont

, Rr^ + D

n est bon de remarquer que le premier membre de l'équation proposée est la somme de deux carrés ; on a, en effet ,

Bx + D ^ XL

d'où Ton déduit :

(2Aî/ + Bj? + D)« + }j}[x — x'Y = 0 ,

équation qui n'est autre chose que la proposée sous une autre forme.

Si les racines du trinôme mx'^ + 2na? + p sont imaginaires, comme m est négatif, le trinôme sera constamment négatif, et, par suite, Y sera constamment imaginaire. L'équation

proposée n'a donc aucune solution réelle; on dit alors qu'elle représente une ellipse imaginaire.

n est bon de remarquer que le premier membre de Téquation proposée est la somme de trois carrés; car^ en faisant comme plus haut m = — jx*, le trinôme »w:* + 2nx+P est

égal à Texpression — p.* (x A — [x^/i*, où fc* désigne une

quantité positive ; alors on a :

__B^+D jx^ /r/ ny 1

d'où l'on déduit:

équation qui n'est autre chose que la proposée sous une autre forme.

Remarque, Pour que les racines du trinôme ma?*+2wa?+P ^ient réelles et inégales^ il faut et il sufiSt qu'on ait :

n* — mf>0,

Par conséquent^ pour que l'équation proposée représente effectivement une courbe, il faut et il suflSt que Ton ait en supposant, ce qui est permis, que A soit positif :

B«— 4AG<0 et AE«+GD«— BDE+F(B«— 4AG)>0.

Si la deuxième condition n'est pas remplie , l'équation représente un point réel ou une ellipse imaginaire qui sont les ^ariétéi de l'ellipse.

110 GAOMËTRIB analytique a deux DlMINIUlItt.

Discussion de V Hyperbole (B*— 4A.C>0).

98. Le cas de Thyperbole^ comme celui de PeUipie, se subdivise en trois autres , suivant que les racines du trinôme mx^-^^nx+p sont réelles et inégales^ égales ou imiginaires.

Considérons, en premier lieu^ le cas où les racines du trinôme^ dont il s'agit; sont réelles et inégales; désignoni-las par x' et x" ; supposons^ en outre^ pour fixer les idées a/ et / positifs et aî'<ap"*

flg. 58.

Soient X'X (fig. 58) le diamètre qui a pour équation

Bx + B

et B^ B' les points où ce diamètre coupe la courbe; si Vot^ mène les ordonnées BP et BT', x' et x" seront les abcisses des points P et F, et la valeur de Y sera

— )/m{x — xrj(x—x'');

comme la quantité m est positive, nous la désignerons par (^ et Ton aura :

tem que Y soit réel^ il faut que x soit compris entre — q» 1 3f, ou entre af ei+co'yU courbe n'a donc aucun point tué entre les deux droites BP, BV, menées par les points i «t B' parallèlement à l'axe des y.

Poura?=aî*, on a ¥=0; et lorsqu'on fait croître a; de â^' à +od, croît de zéro à l'infini, car les deux facteurs x-^af et — £c" croissent l'un et l'autre indéfiniment. La courbe, ont nous nous occupons, a donc une branche telle que NET ui s'étend à l'infini du côté des abscisses positives , de part t d'autre du diamètre.

Pour x = x', on a encore Y = 0; et si l'on fait décroître ieafk — oo, les deux facteurs x — x^,x — a?" sont né- Mi^; en changeant leurs signes, il vient :

Qvoit que x décroissant de Je' à — oo, Y opolt d9 rtro +o^; la courbe a donc une deuxième branche telle que KH qui s'étend à Tinfini du côté des abscisses négatives, de «rt et d'autre du diamètre. ,

L'abscigse du point D milieu de PP' étant — ^ — , posons

f serf une abscisse, comptée à partir de D, et la valeur de Y leviendra :

Cette fonne de la valeur de Y pennet de constater que la parallèle menée à Taxe des y, par le point D^ est un diamètre de l'hyperbole, conjugué au premier diamètre X'X; et, quele point C^ où se coupent ces deux diamètres, est un centre de la courbe.

99. Si les racines du trinôme iiw?* + 2iia?+p sont égales entre elles, on a, en désignant par x' leur valeur et en faisant, comme précédemment, m = p.*,

B^ + D ji^ ^ 2A 2A^ ^

On voit que, dans ce cas, l'équation proposée représente deux droites , qui se coupent sur le diamètre au point dont l'abscisse est on! ; le premier membre de l'équation proposée est alors la différence de deux carrés, car de l'équation précédente, on tire:

(2Aî/ + Rr + DY — i>.\x—afY = 0,

qui n'est autre que la proposée sous une autre forme.

100. Supposons enfin que les racines du trinôme mx* + 2n.x +p soient imaginaires.

Dans ce cas Y ne peut s'annuler et la courbe ne rencontre pas le diamètre X'X (fig. 59). En faisant, comme plus haut, m = p.*, on peut écrire la valeur de Y de la manière* suivante :

D£S fiQUÂTI<»9S DU SECOND DEGRÉ A DEUX VARIABLES. 1 13

-j 1 étant fK)sitive , on aura la valeur minimum de Y

fL 4 / fi^

faisant 0?= 5; cette valeur est— l/p j. Soit D

fig. 56.

tepointdontl'abscisseest ^, menons, par ce points une pa-

i^lèle à l'axe Oy et prenons^ sur cette parallèle de part et

d*autre du diamètre^ CE=CE' = — i/p j ; les points E

6t £' seront les points de la courbe les plus rapprochés du

diamètre. Enfin si Fon fait varier a; de r à ±co, la va- Pleur de Y croît constamment depuis sa valeur minimum jus-

ïu*à l'infini ; d'où il suit que la courbe , dont nous nous occupons, a, de chaque côté du diamètre X'X, deux branches qui s'étendent à Finfini , comme Tindique la figure 59. n est aisé de voir, en posant

F que le point C, où la parallèle à Taxe Oy , menée par le point D, •

114 GtOUtTRIE ANALYTIQUE A DEUX DlMlNaiOlfa.

rencontre le diamètre X'X^ est un centre de l'hyperbole , ^ que les droites X'X et E^E sont deux diamètres conjugués. Nous ne croyons pas nécessaire d'insister sur ce point.

Remarq%^e. Suivant que les racines du trinôme mx^+^nx-^-P sont réelles et inégales^ ou imaginaires ^ on a :

n' — mp>0 ou n* — mp<0;

par conséquent, pour que Téquation proposée représente effectivement une hyperbole, il faut et il suffit que l'on ait :

B«— 4AG>0 et AE*+CD*— BDE+F(B*— 4AC)> ou <0.

Si la deuxième condition n'est pas remplie, Téquation proposée représente le système de deux droites qui se coupent y système qui constitue une variété de Thyperbole.

101. Le cas de Â=0 échappe à la discussion précédente ; il importe de l'examiner à part. L'équation proposée se ré" duit alors à

Ba?y + Gr* + Dt/ + Eaî + F = 0;

il faut remarquer qu^on ne peut avoir ici 3=0; car il s^ensuivrait B' — 4AC=0, ce qui est contraire à l'hypothèse que nous discutons. L'équation précédente est du premier degré par rapport à y, et Ton en tire :

— CLc^— Ea? — F ^"~ Ba?+D

Effectuons la division du numérateur par le dénominateur et désignons , pour abréger, le quotient par mœ + n et le reste par r, il vient :

6oit X'X (fig. 60) la droite qui a pour équation

i est évident qu'on obtiendra les différents points du lieu de l'équation proposée , en ajoutant à diaque ordonnée de la droite X'X la longueur positive ou négative représentée

par =7 — r-rri cu fj'autres termes* si Ton pose: Bx + D

Bx + l>'

Y sera l'ordonnée de la courbe comptée à partir de la droUe XX Supposons ^ pour fixer les idées ^ que les qiiantités r, B et D soient positives; si l'on fait croître a? de — oo

à — ^, Y reste négatif et dé^a^ît de zéro à — oo; la courbe

a donc un arc tel que GG' composé de deux tranches infi-

fig. 60.

^ies, comme l'indique la figure 60. L'une de ces branches

s'approche indéfiniment de la droite X'X, c'est-à-dire , que la distance d'un point M de la branche de courbe dont il s'agit à la droite X'X décroit indéfiniment de manière à avoir zéro pour limite, lorsque le point M s'éloigne à l'infini. Toute droite^ dont une branche de courbe infinie s'approche ainsi indéfiniment^ est dite une asymptote de la courbe^ X'X est donc une asymptote de notre hyperbole. La deuxième branche infinie de l'arc GG' s'approche indéfiniment de la droite YT menée, parallèlement à Taxe Oy, par le point de

Taxe des x dont l'abscisse est — - ; cette droite YT est donc

une deuxième asymptote de Thyperbole.

Si l'on continue à faire croître x de — ^ à -J-^^o, Y de-

vient positif et décroît depuis +^^ jusqu'à zéro; il s'ensuit que notre courbe a un second arc tel que HH' dont les droites XX' et YY' sont encore asymptotes.

Remarque L II importe de remarquer le cas de r=0. L'équation

que nous avons déduite de la proposée se réduit à

2/== ma? 4-»*,

qui ne représente qu'une droite unique. Mais dans ce cas cette équation ne se déduit de la proposée que par la suppression d'un facteur dont il faut tenu* compte. On a eflTectivement :

— (Caî* + Ej:+F) = (Bx + D)(ma?+n), par suite l'équation proposée peut s'écrire :

(Bx + iy){y—mx—n)=Oy et elle représente les deux droites

Ba?-|-D==0, y — mx — n=.0.

Remarque IL On peut conclure de ce qui précède, que si Téquation du second degré manque du terme en y' ou en x^y mais qu'elle contienne le rectangle xx/y elle représente une hyperbole qui a une asymptote parallèle à l'axe des y ou à l'axe des x. Nous verrons bientôt que cette propriété d'avoir deux asymptotes a lieu indistinctement pour toutes les hyperboles.

Discussion de la parabole (B' — 4AC=0).

lOS. Conservant les notations du n* 93^ soit X'X (fig. 61) le diamètre qui a pour équation

Rr + D

^n a^ dans ce cas,

Y=— yj^nx+p.

Supposons d'abord n positif; si l'on fait croître j; de — q»

à — ~-, Y est imaginaire et il n'y a pas de points correspon-

dants de la courbe; mais, si l'on continue à faire croître x

de — ^ à +00, la valeur de Y sera constanmient réelle et

erottra de zéro jusqu'à l'infini. La parabole^ que nous discu- HnitA, eA ainsi formée de deux branches infinies ÂG et AG', qui partout Pune et l'autre du point A, où le diamètre X'X coupe

ia droite qui a pour équation «= — ^. La courbe est donc

illimitée du côté des abscisses positives ; elle est limitée ftu contraire du côté des abscisses négatives.

La figure 61 suppose que p est positif, la courbe coupe alors Taxe des y en deux points D et V pour lesquels on a:

Si p est nul, les deux points D et D' se confondent avec le point A (fig. 62) et la courbe est tout entière située du même

fig. 62.

côté de Taxe des y que les abscisses positives. Si p est néga*

lif , la courbe n'a aucun point commun avec Taxe des y , comme on le voit dans la figure 63.

lig. 63.

Lorsque n est négatif^ la courbe est limitée du càié des absdsses positives et illimitée du côté des abscisses négatives. Ici^ comme dans le cas de n positif, il y a lieu de distinguer les trois hypothèses de p > 0, p =0, p < 0 ; les trois positions correspondantes de la courbe sont indiquées dans la figure 64.

flg. 64.

Enfin lorsque n est nul ^ on a :

Y = —- i/p et y = -i —

l'équation proposée représente alors deux droites parallèles au diamètre X'X. Ces deux droites sont distinctes si p est positif ; elles se confondent l'une et Tautre avec le diamètre luimême, si p est nul; enfin elles cessent d'exister et deviennent imaginaires si p est négatif.

Remarque /. Pour que l'équation proposée représente effectivement une parabole, il faut çt il suffit que Ton ait: