DES TANGENTES ET DES ASYMPTOTES
avoir un moindre nombre ; car^ pour afSrmer qu'il existe une asymptote correspondante à une branche y il jie suffit pas de savoir que les valeurs de ft et de i^ trouvées par la méthode indiquée plus haut, sont réelles et finies; il faut en outre être assuré que la branche de courbe en question s'étend à rii)fini. Par exemple^ en appliquant la méthode générsde à
la coùrb^ qui a pour équation y=jî±i/-; j,
trouverait X;=ly i==0^ mais il n'en fondrait pas conclure que la courbe a pour asymptote la droite y =â?; car il est aisé de voir que chacune des branches infinies de cette courbe a pour asymptote l'axe des y.
Remarque III. En appliquante méthode générale, que nous venons d'exposer ^ à une équation non irréductible F(a;,y)=0, dont le premier membre admet un diviseur linéaire y — ax — 6, il est évident qu'on trouvera que l'une des valeurs de fc est a, et que la valeur correspondante de / est 6. Ceci peut constituer une méthode pour trouver les diviseurs linéaires d'un polynôme ^[Xyy)^ dans le cas oùj'on sait qu'il en existe.
Des asymptotes des courbes du second degré.
123. Conformément à ce qui a été dit au n"^ 122, nous écrirons l'équation du second degré
Ay*4-Rry+Ûr* + D» + Ea?+F=0,
Sôus la forme :
B±\/B* — 4ÀC * = .! — '-^ L. ■ ' ' I
cm Auri^ annuité I p^r la foimule
Difc + £
2Aft+B'
118 GtOMtTRIl AMALTTIQOE A DttIX DIIIBMBIONS. |
Mit
réquation d'une asymptote de la courbe proposée» et codsetvons toutes les notations du n"" 1^2. les polynômes, que nous avons désignés alors par f{h)yfi[k],f^{k)y ont ici,Tpour valeurs,
/(*)=A*»+B* + C, A(*)=Dfc+B, A(*)=F5
et, l'on a en outre:
^'(Jt)=2A*+B.
Les coefficients angulaires k des asymptotes safoni dooc doDués par Téquation
AJP+BA + C=0, d'où Ton tire:
Si B* — 4AG est négatif, les deux valeurs de k sont imaginaires et la courbe n'a point d'asymptote réelle; cela est évident â prian, puisque Tellipse n'a aucune branche intinie*
Si B' — 4tAC est positif, les deux valeurs de k sont réelles et inégales; par suite la valeur de l est finie, puisque 2Ak-[-5 ne saurait être nul. Il s'ensuit que rhyperi:)ole a deu^ asymptotes,* et ces deux asymptotes passent par le centre 4^ la courbe, ainsi que nous en avons fait la remarque d^ numéro précédent.
Enfin, si B* — 4AG est nul, les deux valeurs de jfc'sont
DW TAMGENTES ET DES ASYMPTOTES. IM
i^Des et égales, leur valeur cqiqmupe est — ^r ^ 1*^^ ^^î^
que la valeur de l est infinie, n s'ensuit que dans la paratele , les asymptotes sont parallèles et situées à l'infini , ou , pour mieux dire^ ia parabole n'a point d'asymptotes. Â la
vérité^ la valeur de t se présente sous la forme -y si Ton a
— = — ou 2AE — BD=Oj mais alors Téquation proposée
i^présente deux droites parallèles y ce qui constitue, comme on Ta vu, une variété de la parabole. Dans ce cas notre méthode générale nous fait retrouver ces deux droites. Effectiveipent, la valeur dç T doit être ici déterminée par l'équatioa du second d^i^é »
ou
d'où l'on tire :
, — p±v/D' — AAF ' 2A
Ainsi lea deux asymptotes sont donq^ pi^r l'^n^tion
— Bx — D . 1
qui n'est autre que Féquation proposée résolue par rapport
Remarque. La théorie précédente conduit à une règle torèssimple pour former immédiatement les équations des asymptotes d'une hyperbole , dont on a Téquation en coordonnées rectilîgnes. Effectivement les asymptotes ne dépendent aucu-
nement du dernier terme F; d'où il suit que ces asymptotes ne changeront pas si Ton altère ce ooeflScienti Or, en altérant d'une manière convenable la valeur de F, l'équation, qui représentait l'hyperbole proposée, représentera actuellement le système de deux droites, et ces droites seront précisément les asymptotes demandées. De là on peut conclure que :
Pour avoir le$ asymptotes d^une hyperbole, dont Véquation renferme un terme en y*, il faut résoudre Péquation par rof' port d y y extraire la racine carrée dU trinôme placé sow h radical , sans avoir égard au reste de Popéraiion, etremfl(h cer le radical par la racine trouvée.
124. Il nous reste à examiner le cas où l'une des asymptotes de l'hyperbole est parallèle à' Taxe de& y. L'équation de la courbe ne peut contenir de terme en y*, car autrement y ne serait infini pour aucune valeur finie de x; soit donc
Bary + (lr«+Dî/ + Ea?+F=0,
Péquation de la courbe proposée. On en tire :
Ga?*+Ea?+F ^-^ Rc + D •
y étaût infini pour Ba:+D=0, U s'ensuit que l'une des asymptotes a pour équation :
Ba? + D = 0;
quant à Pautre asymptote, on l'obtiendra par la méthode gé' nérale qui donne :
. C Dfe + E CD— BÉ
