CHAPITRE VL
ÉQUATION DB l'eILIPSE RAPPORTÉE A SON CENTRE ET A SES AXES. — ^LES CARRÉS DES ORDONNÉES PERPENDICULAIRES A l'uN DES AXES SONT ENTRE EUX COMBIE LES PRODUITS DES SEGMENTS CORRESlMDANTS FORMES SUR CET AXE.
125. Nous avons vu (n® 113) que Féquation du second degré peut être ramenée, dans le cas de Fellipse, à la forme
oùj; et y désignent des coordonnées rectangulaires. La quantité — 4MN étant ici négative, on voit que M et N sont de mêmes signes; de plus, on peut les supposer positifs, puisqu'on les r^draittels, dans le cas contraire, en changeant les signes de tous les termes de Féquation. Les coefficients M et N étant positifs, il faut et il suffit que H soit positif, pour que la précédente équation représente effectivement une ellipse; en effet il est clair que, si H=0, Téquation ne peut représenter que l'origine des coordonnées, et que, si H est négatif, elle représente une ellipse imaginaire. Nous avons déjà eu l'occasion de mentionner ces variétés de Feilipse, et nous ne nous y arrêterons pas davantage.
Supposons donc M,N et H positifs; pour avoir les points où la -courbe coupe l'axe des a;, il faut faire t/=0, et il
vient flp=d:\/^. On obtiendra de même les points où
la courbe coupe l'axe des y, en faisant x=0 dans son
/H équation; il vient alors y=r d:W rr. Nous désignerons par a
et par b les quantités \/ ^ et V/rï > en sorte que Fon aura
XT ^ Tir H
En remplaçant M et N par ces valeurs et divisant ensuite par H, l'équation de l'ellipse devient :
ou
ii)
fc» ^ a' ~ '
aY + b*x*=:a*b\
C'est sous l'une ou l'autre de ces deux formes que nous la considérerons désonnais. On en tire :
La valeur de y a'est réelle que si la valeur de x reste com^
prise entre — a et +«,• lorsque x croit de zéro à a ou décroît de zéro à — a, la valeur absolue de y décroit de 6 à zéro. Si donc on prend sur l'axe des x (fig. 76)OA=OA'=oet, sur l'axe des y, 03=0^ =6, on voit que l'ellipse sera formée de quatre arcs
AB^ BA'y A'B' et FA ^aux entre eux , comme l'indique la figure.
De ce que l'équation (i] ou (3) n'est altérée ni par le changement de X en — Xy ni par cehii de y en — y, il résulte que rorigine est le centre et que les axes des coordonnées sont les axes mêmes de la courbe. Cela résulte, au surplus, des ccmsi* dérations que nous avons développées dans le chapitre IV. L'équation (i) ou (3) représente donc une ellipse rapportée à son centre et à ses axes. Les lignes A'A=2a et BB'=:^ sont dites les longueurs des axes ou même simplement les axes. Les points A^ A', B, B'sont (n® iiO) les sommets de la courbe.
L'ellipse est concave vers chacun de ses axes, comme l'indique la figure 76 : cela résulte de ce que cette courbe ne peut être coupée par une droite qu'en deux points.
i86. De l'équation (3) on tire :
or, pour un point M quelconque de l'ellipse, on a (fig. 76) :
Î^=MP, a + x=kV , a— aî=AP 5 on a donc :
A'PxAP""a«'
d*oii il résulte que :' le rapport du carré (Tune ordonniez perpendiculaire à l'un des axesy au produit des segments corresfondants y formés sur cet axe, est une quantité constante. En d'autres termes : les carrés des ordonnées perpendiculaires à l'un des axes sont entre eux comme les produits des segments eorre$pondants formés sur cet axe.
iH GÉOMÉTRIE ANALyTlQUfi A DEUX DIMENSIONS.
. On vûit que œt énoncé n'est autre chose cpie la traduction géométrique de Téquation dé l'ellipse.
. 197. Supposons a^b, auquel cas 9a est le grand axe et Vb le petit axe de Tellipie; désignons aussi par r la distance cm ( fig. 76 ), du centre au point M dont n et y sont les eoor- 4aiméesion aurar*;=â?*+y'^» pc^suite^
d^où
=nA^F^-
Cela montre que la distance au centre d'un point, mobile sur Tellipse , va constamment en décroissant, quand ce point part de l'un des sommets situés sur le grand axe pour se diriger vers le petit axe. Remarque. Si b=af l'expression de r se réduit à
d'où il suit que tous les points de l'ellipse sont également distants du centre; cette courbe se réduit alors à une circonférence. Le cercle peut donc être considéré comme une ellipse dont les deux axes sont égaux.
128. n est bon de remarquer que, pour tout point extérieur à l'ellipse
on a :
ay + frV — a'6*>0,
et , pour tout point intérieur.
OE L'fiM^ilHIE. ItT
Ck)nsidérons d'abord le cas d*un point M extérieur. S} \^ valeurs absolues de ses coordonnées sont supérieures à a et b respectivement, le théorème est évident. Si cela n^a pas lieu , il existera un point M' de la courbe ayant même ordonnée que le point M et une abscisse moindre en valeur absolue^ ou même abscisse et une ordonnée moindre en valeur absolue; or, pour ce point M', oV + *'^* — «*** est nul, donc cette quantité est positive pour le point M. Un. raisonnement semblable prouve la deuxième partie du théorème énoncé.
LES ORDONNEES PERPENDICULAIRES kV GRAND AXE SONT AUX OR- DONNEES CORRESPONDANTES DU CERCLE DECRIT SUR CET AXE, COMME DIAMETRE^ DANS LE RAPPORT CONSTANT DU PETIT AXE AU GRAND. — CONSTRUCTION DE LA COURBE PAR POINTS , AU MOYEN DE CETTE PROPRIÉTÉ.
