NP MP

d'où l'on conclut que le point N appartient à TeUipse demandée. On pourra construire ainsi autant de points de L'ellipse que Ton voudra.

131. Nous croyons devoir indiquer ici deux autres procédés également simples^ pour construire une ellipse par points :

!• Soient œ^x et y'y d^ux droites rectangulaires (flg. 79) ;

d'un point quelconque B.de y'y, comme centre, et d'un rayon égal à la demi-somme a-^-b des axes de l'ellipse à construire^ décrivons une circonférence qui coupe la droite x'x en A , tirons AB et prenons ensuite AM=& : le point Qg, 79. M sera un point de l'ellipse ,

dont les axes 2a et 26 sont respectivement dirigés suivant ^^et j^y. En effet 9 si Von. prend pour axes des coordonnées droites x'x et y'y^ et qu'on tire l'ordonnée MP^ on aura:

^=-XBQ = -v'o»— »»j "a a .

ce qui démontre la proposition éhoncée.

Rtmarqufi. Si l'on conçoit que la droite AB se meuve, de telle sorte que les points A et B restent toujours placés respectivement sur les droites y!x et y't/ , le point M décrira Tellipse. Ceci donne un moyen de tracer cette courbe par un mouvement continu.

T Soient, comme précédemment, x'x et y'y deux droites

rectangulaires (tig. 80), suivant lesquelles dojvent être dirigés les axes 2a et 2ft de l'ellipse à construire. Supposant ici a>6, prenons surOy* une longueur OA=s ~i a — h et, d'un point I situé sur OA entre 0 et A , décrivons xm circonférence qui coupe oix en . flg. 80. K 3 tirons la droite IK et pro-

longeons-la d'une longueur KM = 6 ,- le point M sera un point de l'ellipse demandée ; car si Ton mène AiH parallèle à Qy et IH parallèle à Ox ^ on jaura :

MP MH

MK W

oo , en prenant x'x et \fyj pour axes de coordonnées^

ce qui démontre la proposition énoncée.

Remarque. Ce qui précède donne un second moyen de décrire l'ellipse par un mouvement continu ; en effet , si Ton prend une règle d'une longueur IM=a, qu'on marque sur cette règle un point K situé à une distance du point I égale à a — 6 et qu'on fasse mouvoir la règle de manière que)e point I reste sur OA et Je point K sur x'x^ le point M décrira Tellipse.

FOYERS 9 EXCENTRICITÉ DE l'eLLIPSE. — LA SOMME DES RATONS \XCTEURS MENÉS A UN POINT QUELCONQUE DE l'eLLIPSE EST CONSTANTE' ET ÉGALE AU GRAND AXE. — DESCRIPTION DE L'eLLIPS^ AU MOYEN DE CETTE PROPRIÉTÉ.

132. On nonune généralement foyer d'une courbe du second degré ^ un point dont la distance à chaque point de la courbe est une fonction linéaire des coordonnées rectilignes de ce dernier point. Cette définition est purement analytique^ mais la propriété qu'elle exprime est entièrement indépendante des axes auxquels la courbe est rapportée. Effectivement, quand on passe d'un système de coordonnées rectilignes à un autre, les coordonnées du premier système s'expriment au moyen des coordonnées du second par des fonctions linéaires ; donc une fonction linéaire des coordonnées du premier système s^exprimera toujours par une fonc« tien linéaire des coordonnées relatives au second. On peut donc, dans la recherche des foyers des courbes du second degré, rapporter ces courbes aux axes qu'on jugera les plus convenables.

Soit une ellipse

(1) ay + 6«^«==a«6%

rapportée à son centre et à ses axes, et proposons-nous de trouver les foyers qu'elle peut avoir. Soient a, 6 les coordonnées d'un foyer et 8 la distance de ce foyer à un point quelconque M[x^ y) de la courbé; on aura :

Mais, par hypothèse, cette distance 8 peut s'exprimer par

une fonction linéaire lx-\-fny + ndes coordonnées â; et ji; on a donc :

^(x—dY + (y — 6)« =lx + my + n^ ou (3) (x-ay+(y-^Y-(lx+my+nr=0.

Cette équation (3), exprimant une relation constante eniieles coordonnées de chaque point de Pellipse, n'est autre chose

chose que l'équation même de cette courbe ; elle doit, par suite y être identique à Téquation (i). Mais Téquation (1) ne renferme pas le rectangle xy, tandis que dans Téquation (% ce rectangle existe avec le coefficient — 22m; il faut donc que Ton ait /m=0, c'est-à-dire, /=0 ou m=0.

Supposons m = 0 ; alors 8 sera une fonction linéaire de x seule. L'équation (2) donne :

8« = a?' — 2âa? + a* + »* — % + 6*; en i^mplaçant y par sa valeur tirée de (i), savoir :

il vient:

8«==a?»— 2aj?-fa*4- — (a« — a?')— 26- s/a*—x^ + ^'

Puisque 8 doit être rationnelle, il f{|ut à fortiori que ^ k soit; ce qui exige que Ton ait 6 = 0, c'est-à-dire que les foyers soient situés sur l'axe des a:. L'expression de 8* devient alors :

8»=: I-x« — 2aa; + a*-f 6»;

pour que te second membre soit un carré parfait , il faut et il suflSt que Pon ait :

d'où Pon tire:

La valeur de a li'est réelle que si a est plus grand que b j et, dans cette hypothèse, nous obtenons deux foyers situés sur le grand axe à une distance du centre égale à v/a' — 6*.

En supposant 1=0 on trouverait, par un calcul identique au précédent :

6 = ifcv^6*.— o*;

cette valeur de 6 n'est réelle que dans le cas de h>a et on est iéi conduit^ comme dans la première hypothèse, à con-» stater l'existence de deux foyers situés sur le grand axe; ce sont les seuls que l'ellipse puisse avoir dans son plan. Supposons a > 6; si Ton décrit (fig. 81) nne circonférence de rayon a et dont le centre soit Tune des — '^^ extrémités du petit axe,

cette circonférence cou-

pera le grand axe en deux

points F et F qui seront les foyers de Tellipse. En posant c = y/a* — i' , la quantité 2c sera la distance fig, 81. des foyerS) ou, comme l'on

dit aussi, la distance focale. Le rapport - de la distance focale

au grand axe est dit YexceniridJté de l'ellipse (voir n^ 9)4

m GÉOMÉTRIE ANALTnQUS k DCUX DIMENSIONS.