Soit

ay + 6V = a«6S

réquation d'une ellipse rapportée à son centre et à ses axes,

et supposons a>b; soit MT (fig. 86) une tangente qui rencontre le grand axe au point T. Si Ton fait c =:s/a* — b^y le rayon vecteur MF aura pour équation":

flg. 86.

les coordonnées du point T sont y =0 et a: = -75 la distance

de ce point au rayon MF sera donc

ay'

ex a

^ sly'^ + [x'—cf

ou simplement -^ , puisque l'on a a =V^y"+(^' — ^)'.

L'équation du rayon vecteur MF se déduit de celle de MF en changeant c en — c , d'où il suit que la distance du point

T à MF a aussi pour valeur -=7. On voit p^r là que le point T

est également distant des deux rayons vecteurs; il est clair qu'il n'est pas dans Tangle de ces rayons ; donc il appartient à la bissectrice de l'angle que fonhe l'un d'eux avec le prolongement de l'autre ; donc la tangente MT n'est autre chose que cette bissectrice. En d'autres termes^ la tangente fait des angles égaux avec les rayons vecteurs du point de contact; et il en résulte que la normale divise en deux parties égales Vangle de ces rayons vecteurs,

159. Le théorème^ que nous venons d'établir^ donne un moyen de mener une tangente à l'ellipse : par un point pris sur la courbe , ou par un point extérieur. Supposons d*abord qu'il s'agisse dç mener la tangente

en un point M d'une ellipse (fig. 87). Tirons les rayons vecteurs MF et MF'; prolongeons l'un d'eux, MF par exemple^ d'une quantité MG égale à l'autre, joignons GF' et abaissons du point M la perpendiculaireTMP sur F'G; cette perpendiculaire sera la tangente demandée.

En effet, le triangle F'MG étant isocèle^ la perpendiculaire, abaissée du sommet sur la base, partage l'angle FTMG en deux parties égales ; on a donc FMP= GMP. Mais les angles GMP

fig. 87.

et TMF sont égaux comme opposés par le sommet; donc F'MP = FMT , donc MT est tangente.

Remarque. Si Ton joint le centre 0,^ milieu de FF, au point P qui est le milieu de FG , K droite OP sera parallèle à FG et égale à la moitié de FG, c'est-à-dire à a. Il résulte dé là que la distance du centre de V ellipse aux pieds des perpendicur lairés, abaissées d^ûn foyer sur les tangentes, est constante ^ égale au demi grand axe; ou, en d^autres termes, fe Iteii géométrique des pieds desperp0hdiculaireSf abaissées des foyers d'une ellipse sur les tangentes, est la circonférence décrite m le grand axe comme diamètre.

140. Proposons-nous maintenant de mener une tangente à Tellipse par un point T extérieur à la courbe (fig. 88). Supposons pour un moment le problème résolu ; soient TM la tangente demandée et M le point de contact. Tirons les rayons vecteurs MF, MF' et prolongeons Vun d'eux, MF par exemple^ d'une

quantité MG égale à l'autre; joignons ensuite FG, FT et GT.

La tangente MT, divisant en deux parties égales Tangle bu sommet .du triangle isocèle FTtf6,sera perpendiculaire à GF' et passera par le milieu P de cette Kgne; flg. 88. on aura, par suite, TG=TF';

d'ailleurs FG=2à; donc le point G peut être déterminé par l'intersection de deux circonférences. Tune décrite du foyer F comme centre avec le rayon 2a, Tautre décrite du point donné T comme centre avec le rayon TF'. Le point G étant connu, on le joindra au foyer F, et Von abaissera du point f la perpendiculaire. TP sur FG; cette perpendiculaire sera \$l tangente demandée , et le point M , où elle rencontre FG , sera le point de contact.

DE L'ELLIMfe. 18S

En efifet, on a, par construction TG=TP', donc TP est perpendiculaire sur le milieu de FG; donc MP'=MG, et par conséquent MF + MF' = 2a , ce qui prouve déjà que le point M eçt aur l'ellipse. En second lieu Tangle F'MP=GMP =PMT ; donc MT est tangente.

Nous avons vu que le point G est déterminé par Ptntersection de deux circonférences ; OT deux circonférences se rencontrent généralement en deux points , il y a donc detix solutions, et par le point donné T on peut mener deux tangentes à l'ellipse, n est facile , en effet , de démontrer que les deux circonférences décrites des points f" et T comme centres , avec des rayons égaux à 2a et à TF respectivement^ se rencontrent toujours en deux points ^ si, comme nous le supposons, le point T est extérieur à Tellipse. Joignons FT ; le point T. étant extérieur à Tellipse, on a 2a<TF + TP'; d'ailleurs dans le triangle TFF' on a TF <FF + TF' et, àprHoriy TF <2a + TF'. Cela prouve que nos deux circonférences se rencontrent toujours en deux pointé, car la distance des centres est moindre que la somme des rayons, et le plus grand rayon est moindre que la somme du plus petit et de la distance des centras.

Si le point T était sur Tellipse, on aurait 2a=TF + TF; alors le plus grand rayon serait égal à l'autre augmenté de la distance des centrés, et les deux circonférences se touchenient intârieurement. Dans ce cas il n'y a plus qu'une seule tangente, et l'on retombe sur la construction donnée précédemm^t.

Si le point T était intérieur à l'ellipse , on aurait 2a > TF+TF' ; alors l'un des rayons serait plus grand quç l'autre^ augmenté de la distance .des centres ; les d^ux circonférences suaient intérieures l'une ^ l'autre, £t il n'y aurait plus de tangente.

144. La propriété démontrée au n"" 138 fournit encore un moyen très-simple de mener à l'ellipse une tangente panDëe

à une droite donnée. Soient F et F' les foyers de l'ellipse (Sg. f») et CD lac droite à laqudle la tangente doit être parallèle. Si le problème était résolu^ que PT fût la tangente demandée et Mie point de contact; en joignant PH et prenant sur cette dirodion flg. 89. FG = 2a , la ligne WG serait pw-

pendiculaire sur TP et par suite sur CD. Il résulte de là que le point G peut être déterminé par l'intersection de la perpendiculaire^ Abaissée de F' sur CD^ avec la circonférence de rayon 2a et décrite du point F comme centre. Le point 6 étant connu^ on mènera, par le milieu P de GF, la droite PT parallèle à CD; cette parallèle sera la tangente demandée et le point M, où elle rencontrera GF, sera le point de contact.

En effet, joignons MF': la ligne PT étant perpendiculaire sur le milieu de GF par construction, on a GMsrFIA; donc MF 4" MF' = 2a; ce qui prouve déjà que le point M est sur Fellipse. En second lieu l'angle F'MP=GMP=FMT; donc PT est tangente.

Le point G est déterminé par l'intersection d'une droite et d'un cercle , lesquels se coupent généralement en deux points. Il peut donc y avoir deux solutions; or je dis que les deux solutions ont lieu dans tous les cas , en effet le rayon du cercle 2a est plus grand que FF' et, é fortiori y plus grand que la distance de son centre F à la droite F'G.

Remarque, La cotistruction de la tangente, dans les trois cas que noifs venons d'examiner, ne suppose pas que la courbe soit tracée; il suffit de connaître les foyers et la longueur du

grand axe. Quand on construit une ellipse par points , il est convenable de mener les tangentes aux points qu'on a déterminés ; elles permettent d'obtenir un dessin plus exact. #

ÉqiMiion de la tangente parallèle à une droite donnée.