Soient

aY + b^x^ = a»6» ,

l'équation d'une ellipse^ et

l'équation de la droite à laquelle la tîfngente demandée doit être parallèle. Désignons par x' et y' les coordonnées .inconnues du point de'contact; l'équation de la tangente sera :

et, pour déterminer les inconnues x' et i/^ on a les deux équations :

on en tire:

ip' = — ■ et y' =

L'équation demandée est donc

y = mx + y/a^m^ -{• 6*,

En donnant successivement au radical le signe -{- et le signe — , on aura les équations de& deux tangentes parallèles à la droite donnée.

iS6 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE À DEUX DIMENSIONS.

Remarfue. Bi Pou considère la quantité m comme susceptible de reèerdr tçmtes les valeurs possibles^ la précédente équation représentera toutes les tangentes à Fellipse proposée. C'est 80US cette forme qu'il convient de prendre les équations des tangentes, dans les questions où les points de contact ne jouent aucun rôle.

143. On peut résoudre la même question par de^ considérations différentes, et que nous croyons devoir indiquer ici à cause de leur grande généralité. Soit

l'équation d'une sécante de l'ellipse. Si Ton imagine que cette sécante se meuve en restant parallèle à elle-même, et de manière que les deux points d'intersection avec la courbe se rapprochent indéfinioient l'un de l'autre, il est évident qu'à la limite la sécante sera tangente; donc, pour que l'équation écrite plus haut représente une tangente, il faut et il suffit qu'elle n'ait qu'une seule solution commune avec l'équation ,

de la courbe; cela revient à dire que l'équation, résultant de réiimination de y entre les deux équations précédetites, savoir :

{à'm* + 6*)a?« + 2a»wtw: + a*(n* — 6«) — 0 ,

doit avoir deux racines égales. En exprimant cette condition , il vient:

d'où Ton tire :

On retrouve ainsi le résultat déjà obtenu,

Équation de la tangente menée par «m poini exUrieur. 144. Soient^

réquation de Tellipse donnée , et (x', y') le point donné , par lequel il's'agit de mener une tangente à la courbe. Si le point de contact (af', y'^) était connu , l'équation de la tangente demandée serait

aYy + bWx = a''b\

Mais cette tangente passant par le point donné [xf, y[), on doit avoir identiquement :

et on a en outrée

les deux précédentes équations détermineront x" et y", et le problème sera résolu. Nous n'acBevons pas le calcul , parce que nous présenterons tout à l'heure le résultat d'une manière plus simple. Mais les équations, que nous venons d'écrire, vont nous conduire à une conséquence qu'il est important de remarquer. Puisqu'on a l'identité

il s'ensuit que le ;poiiit de contact (â^'Vv'O ^^ ^i^^^ ^^ ^^ droite qui a pour équation :

a^y + 6Va? = a*6' ;

et, comme on peut mener^ par le point {x', y'), deux tangentes à l'ellipse , la précédente équation représente la dtoiie qui joint les points de contact de ces tangentes nvee la CDurbe,

188 GËOMfiTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS.

IjC problème, de mener une tangente à Tellipse par un point extérieur, se ramène évidemment à construire cette corde de contact qu'on peut obtenir très-simplement^ comifne on le verra dans la suite de cet ouvrage.

145. Désignons, comme précédemment, par (x'jyf)\e point, par lequel il faut mener une tangente à Tellipse; l'équation de cette tangente sera

(!) yzrztnx-}- ^a^m* + 6* ;

le coefficient angulaire inconnu m devra satisfaire à l'équation do condition

(J) y' = »ix-+vVm* + 6S

oii le radical doit être pris avec le même signe que dans l'équation (l)« En éliminant ce radical par le moyen de Téqua- Uim vi\ l\^quation (1} peut s'écrire:

Ei^ outit". » Ton fiiut dispandtre le radical de Téquation (î), <4 tVMi M tm^:

\V t)^i i^mw^ dV<t«^ k^ «piqpnftMMK des deux tangentes

$ii W^ IH'^M ^^ <\%tirwr 3^ T^A^. o^wwar on Fa supposé; %^ 1^ itt<M^^wiw<wi ^lirtrîSi «S =^ — li*x " — «V ^ 41 ; tes «tans

de m sont égales, si le point est sur la courbe; enfin elles sont imaginaires^ si le point est dans l'intérieur de, la courbe. Il résuite de là qu'une tangente à Tellipse n'a aucun point situé dans Tintérieur de la courbe; en d'autres termes^ Teilipse est située tout entière d*un même c&té de chacune de ses tangentes.

DIAMÈTRES.— ^LES GORDÉs^ Qu'uN DIAMÈTRE DIVISE EN PARTIES i&ÀLBBy SONT PARALLELES A LA TANGENTE MEN^E PAR L'EXTR^MITi DE CE DIAMÈTRE. ^

réquation de l'ellipse. Les dérivées du premier membre , par rapport kxd par nqpport à y y sont ^h^x et ^'y ; par suite le diamètre correspondimt aux cordes parallèles^ qui ont m pour coefficient angulaire ^ sera (n** i08)

a*iny + 6*a? ;= 0 , ou y=r r— ar.

a*fn

On voit inmiédiatepient : lo.que tous les diamètres passent par le centre; * que toute droite, passant par le centre, est un diamètre ; résultats que nous avons déjà obtenus (n*^ 108). Rem£u*quons encore que, si m' désigne le coeflteient angulaire du diamètre correspondant aux cordes dont le coeflScient angulaire est m y on a:

m = ;— , ou mm' = — — ;

arm a'

cette dernière équation exprime la condition pour que les

diamètres

y = mXf y = m'x

soient conjugués.

147. Soit Mlâ^^y') un point quelconque de l'ellipse; le coefScient angulaire de la tangente en M est 5-7; celui

du diamètre qui passe par le point M est ^. Le produit de

6* ces deux coeflScients est -\ donc les cordes, qu'un diamètre

divise en parties égales y sont parallèles à la tangente menée par l'extrémité de ce diamètre.

CJdlte propriété fournit un moyen de mener une tangente:

i"" par un point donné sur la courbe, à» parallèlement à une droite dcmnée.

i^SdtMtepdntderellipse (flg. 90) par lequel il faut mener la tangente.

Menons le diamètre VM et tL%. 90. une corde KH parallèle à

MM'; menons ensuite le diamètre NN' conjugué de MM' et qui passe par le milieu de KH; menons enfin MT parallèle

à NN' : ce sera la tangente demandée* 2* Soit CD(fig. 9i)la ^ droite donnée, parallèle à la tangente qu'il faut ecwe struire; menons une corde HK parallèle à CD et tirons le diamètre MM', par H' »i. le milieu de HK; menons

enfin MT et MT" parallèles à CD ; ces deux droites auront les ti^ngentes demandées.

DE L'ELUPSE,

CORDES SUPPLEMENTAIRES. — ON PEUT, AU MOYEN DES CORDES SUP- PLÉMENTAIRES, MENER UNE TANGENTE A l'eLLIPSE, PAR UN POINT DONNE SUR LA COURBE , OÙ PARALLÈLEMENT A UNE DROITE DONNEE.

148. On nomme eorde$ mpplémeniaires de Tellipse deux cordes^ qui joignent un point quelconque de la courbe aux extrémités d'un même diamètre.

n existe^ enirâ les coefficients angulaires de deux cordes supplémentaires^ une relation qu'il est utile de conn^tre. Soit D'D (fig. 92) un diamètre de Uellipse

et eonsidéMmi let deux cordes supplémentaires MD et MD',

qui joignent on point M(â?,y) de la courbe aux extrémités du diimètre IXD. Désignons par af et y' les coordonnées du point D; celles du point D* seront alors — af et — y'. Cela posé, les coefficients angulaires des cordes MD et MD' sont

2 — i et ,; leur produit est donc^-; — ^. Mais, des

équations

on déduit^ par la soastraction^

rp" — ap'* a*'

Donc le produit des coefficients, angulaires de dieux cordes

supplémentaires est constant et égal à ^.

Réciproquement, si le produit des coefficients angulaires de

deux cordes MD et MD' est r et que ces cordes aient une

extrémité commune M^ elles sont supplémentaires. Gar^ soient

. m le coefficient angulaire de MD , m' le coefficient angulaire

de la corde supplémentaire de MD^ menée par le point M; on

aura mm' = -; donc m' est aussi le coefficient angulaire

de MD'; par suite, MD' est la corde supplémentaire de MD.

On ferait voir^ par un raisonnement semblable^ que si deux cordes partent des extrémités d'un même diamètre et que le

produit des coefficients angulaires de ces cordes soit-> — ;, ces

deux cordes sont supplémentaires.