Soient NN' (fig. 93) un diamètre quelconque de

l'ellipse et 6 un point de la courbe ; menons les cardes supplémentaires

GN, GN', menons ensuite le demi-

T diamètre OM parallèle à la corde

GN' et, par le point M, la tangente

ST à la courbe; je dis que ST est

parallèle à GN ; en effet, le produit

fig. 93. des coefficients angulaires de 6N

et GN' est égal au produit des coefficients angulaires de OM

et de ST; d'ailleurs OM et GN' ont même coefficient angulaire, donc GN et ST ont aussi même coefficient angulaire, et par suite , sont parallèles.

Ce qui précède fournit un moyen de mener une tangente à l'ellipse par un point pris sur la courbe, ou parallèlement à une droite donnée.

1° Soit M ( fig. 93) le point de la courbe par où il faut mener la tangente; tirons le diamètre OM et une corde quelconque GN' parallèle à ce diamètre ; menons ensuite, par le point N' le diamètre N'N, tirons GN et par le point M menons ST parallèle à GN. Cette ligne sera la tangente demandée.

^ Tirons une corde GN quelconque parallèle à la tangente demandée. Menons le diamètre N'N et joignons GN', menons enfin le diamètre MM' parallèle à GN' et, par les extrémités de ce diamètre, des parallèles à GN; ces parallèles seront les tangentes demandées.

DIAMÈTRES CONJUGUES.

ISO. Nous avons vu (n» 146) que toute droite passant par le centre de Tellipse est un diamètre, et que deux diamètres sont conjugués, lorsque le produit de leurs coefficients angu-

laires est égal à ;; on peut arriver à ces résultats, en se

plaçant à un autre point de vue qu'il est utile d'indiquer. Effectivement, si Von rapporte l'ellipse à deux diamètres conjugués quelconques, il est évident que l'équation de la courbe ne renfermera ni le rectangle des variables ni les termes du premier degré; réciproquement, quand Téquation d'une ellipse ne renferme pas les termes dont on vient de parler, les axes, auxquels la courbe est rapportée, sont des diamètres conjugués. On voit, d'après cela, que, pour trouver les

diamètres conjugués de l'ellipse ^ il suflSt de déterminer tous les systèmes d'axes de coordonnées, pour lesquels l'équation de la courbe a la forme:

L'ellipse étant d'abord rapportée à son centre et à ses axes^ soit

(1) ay + 6'a:«=aW,

son équation. Les formules à employer, pour passer à un système d'axes quelconques ayant même origine que les axes actuels, sont

ir=a/cosa-f-y'costt', y = j/sina4-!f'sina',

a et a' étant, comme on Ta vu, les angles formés par les nouveaux axes des a? et des y avec l'ancien axe des x. En faisant la substitution et supprimant ensuite les accents dont les coordonnées sont affectées, la nouvelle équation de la courbe sera

(a* sin*a' -f- fc* cos 'a'jy* + 2 (a* sin a sin a! + 6' cos a cos a!)xy +

(a* sin •« -|- 6* cos 'a)aî* = a*6'.

Pour que les nouveaux axes soient deux diamètres conjugués, on doit avoir :

a* sin asin a' + ^'cosa cos a' = 0 ; d'où l'on tire :

(2) tangatanga'=— -,

équation qui exprime que le produit des coefficients angulaires de deux diamètres conjugués de l'ellipse, rapportée à

son centre et à ses axes , est -.

DE L'ELUPSE. 19â

Quant à l'équation de la courbe^ elle se réduit à

(a« sin «a' + 6« cos «a') j/« + (a» sin «a + 6« cos *a);r» = a«6\

Désignons par ^ et 26' les longueurs des deux diamètres conjugués, auxquels la courbe est rapportée; Téquation précédente doit être satisfaite en posant y=0, a?=ita'; et aî=:0, y=±:5' ; ce qui donne:

a''= , . , . ., r- et 6'*

a* sin 'a -|- 6* cos *a o' sin 'a' -f 6' cos V *

on voit^ en outre, que l'équation de l'ellipse, rapportée à ses diamètres conjugués , peut s'écrire :

?i^ + §^ = i ou a'y + y^x" = €i^b'\ Elle a la même forme que l'équation relative aux axes.