Soit

l'équation de l'ellipse rapportée à son centre et à ses axes; désignons par m et m' les coefficients angulaires de deux diamètres conjugués; par n et n' ceux de deux cordes supplémentaires; on a:

mm = r et nn = r ,

d'où

îMflk = Ufi' •

Si donc on a m = n, on aura en même temps fn!=:'ni) on conclut de là que : 1» étant donnés deux diamètres conjugués, on peut construire deux cordes supplémentaires qui leur soient parallèles et qui aboutissent aux extrémités d'un diamètre quelconque donné ; 2© étant données deux cordes supplémentaires , on peut construire deux diamètres conjugués qui leur soient parallèles.

Remarque. Il est très -important de remarquer que les équations,

mm! = r et nn! =: r,

continuent d'avoir lieu lorsque l'ellipse,

est rapportée à deux diamètres conjugués quelconques 2a et 26 ; on s'en assurera en répétant textuellement les raisonnements que nous avons faits, et qui n'ont à subir aucune modification.

152, Puisque deux diamètres conjugués sont toujours parallèles à deux cordes supplémentaires, terminées aux extrémités d'un diamètre quelconque, la recherche des limites entre lesquelles peut varier l'angle de deux diamètres conjugués , se ramène à la détermination des limites de l'angle des cordes supplémentaires qui aboutissent aux extrémités du grand axe.

Soit

réquation de l'ellipse rapportée à son centre et à ses axes;

les coefficients angulaires des cordes^ qui joignent un point M(a?,y) de la courbe aux extrémités A' et A du grand axe^

sont — 7 — et — ^ — ; donc, en désignant par V l'angle ATilA, x-f-a X — a

on aura :

ta„V^-« x + a ^ay , 4 + »' "x^-a^ + y^'

ou, en éliminant x par le moyen de l'équation de la courbe ,

tang V =

Cette formule indique que l'angle V ne peut être aigu, ce que l'on savait d'avance; elle montre aussi que cet angle est droit lorsque le point M est au sommet A; en effet l'une des cordes est alors le grand axe A'A et l'autre corde n'est autre que la tangente à l'ellipse en A. Enfin , si le point M se meut sur l'ellipse de A en A', Tangle obtus V va d'abord en augmentant , jusqu'à ce que le point M vienne se placer sur le petit axe; il diminue ensuite jusqu'à 90'', en repassant par les mêmes valeurs. Les cordes supplémentaires, qui font le plus grand angle obtus, sont donc celles qui joignent les extrémités du grand axe à l'une des extrémités du petit. Par conséquent on aura les diamètres conjugués, faisant entre eux l'angle obtus maximum ou l'angle aigu- minimum, en menant par le centre deux parallèles aux cordes dont il vient d'être question. Il est évident que ces diamètres sont les diagonales du rectangle circonscrit à l'ellipse et qui est formé par les tangentes menées aux quatre sommets ; le coef-

ficient angulaire de Tun de ces diamètres est +- et celai

de Fautre diamètre .

153. Le théorème démontré au n^ i5i permet encore de construire deux diamètres conjugués d'une ellipse, cpn fassent entre eux un angle donné. Il suffit^ effectivement, pour résoudre le problème, de construire un segment capable de Tangle donné sur un des diamètres de Tellipse. En joignant les extrémités de ce diamètre à l'un des points où la courbe rencontre le cercle ; auquel appartient le segment construit, on aura deux cordes supplémentaires parallèles aux diamètres demandés. La solution s'achève aisément.

IL Y A TOUJOURS DANS UNE ELLIPSE DEUX DIAMàTIŒS CONJUGUES