Nous avons trouvé (n

a'* = -T-7-r — r— r= r- Ct 6'* =

a* sin 'a + 6* cos 'a a' sin 'a' + 6' cos 'a'

Dans ces formules a et 6 sont les demi-axes de Tellipse; àeiV sont les demi-longueurs de deux diamètres conjugués, qui font, avec Taxe 2a , les angles a et a' respectivement. Supposons a' = h', on aura :

a' sin *a -j- 6' cos 'a = a* sin •a' -}- 6' cos *a', d'où Ton déduit :

sin 'a == sin *a' . et tang 'a = tang 'a' ,

d'où

tanga'=: — tangaj

nous mettons le signe — , parce que nous savons que tang a et tang a' sont de signes contraires. D'après cela^ l'équation^

tang a tang a' = -y montre que les coeflScients angulaires

tanga et tang a' sont égaux l'un à - et l'autre à .

Nous pouvons conclure ^ de ce qui précède, qu'il y a tou* jours dans l'ellipse deux diamètres conjugués égaux; et que ces diamètres sont précisément ceux qui font entre eux l'angle aigu minimum ou l'angle obtus maximum (n? 152).

LA SOMME DES GARRIBS DE DEUX DIAMETRES CONJUGUES ESt CONSTANTE* — l'aire du PARAUiLOGRAMME CONSTRUIT SUR DEUX DIAMETRES CONJUGUÉS EST CONSTANTE.

iSS» Les équations obtenues précédenunent, savoir:

tangtt tangtt'= j

o' sin'a -}- 6« cos 'a ' a' sin 'a + 6' cos *a'

peuvent s'écrire de la manière suivante :

sinasipa' COSacOSa'

W — p — + jf — = o>

i sin*tt COS 'g J sinV cosV

Multiplions les équations (2) l'une par l'autre et retranchons, du second membre de l'équation résultante^ le carré du premier membre de l'équation (i) ^ il viendra :

1 Sin '(a' — a)

ikf

En désignant par 6 l'angle des diamètres conjugués îa et ^b% on a :

et l'écpiation précédente donne :

a'V sin 6 = a6 ou Aa'b' sin 6 = 4a6 ;

ce qui démontre que le parallélogramme^ construit sur deux diamètres conjugués, est égal au rectangle des axes.

En second lieu^ si Ton ajoute les équations (â] après les avoir multipliées respectivement par sin* a' et sin' a, puis par cos'a' et cos*a, il vient, en ayant égard à l'équation (i) ,

sin *a' sin 'a sin *(a' — a)

COSV COS*a sin* (a' — a)

7î I k'i Ai ^

/« • î I Ï./J • j ' a'*6'*sin*(a' — a) a * sm *a + 6 ' sm *a' = ^ i- = 6* ,

+ 6 * cos 'a' = — ^ ' = a^

a'*cos'a , ^ ..„„

En ajoutant ces équations, il vient :

ce qui démontre que la somme des carrés de deux diamètres conjugués est égale à la somme des carrés des axes.