CONSTRUIRE UNE ELLIPSE^ CONNAISSANT DEUX DIAMETRES CONJUGUES

ET l'angle qu'ils FONT ENTRE EUX.

1S6. Soient 2a' et 26' les longueurs des diamètres conjugués donnés^ ô leur angle; 2a et 26 les longueurs inconnues des axes ; on a :

a« + 6« = a'* + 6'% 2a6 = 2a'6'sine.

Ajoutant ces équations et retranchant ensuite la seconde de la première , il vient :

(a + 6)« = a'' + 6'^ + 2a'6' sin 6 , (a — 6)« = a'* + 6'* — 2a'6' sin 6 ^ d'où

a + 6 = v^a'* + 6" + 2o'6' sin 6 , a— 6=v/a'* + 6"— 2a'6'sine.

On voit que a+6 est le troisième côté du triangle^ dont

les deux premiers côtés sonto' et 6' et forment un angle égal à 90^-f 6; pareillement a — 6 est le troisième côté du triangle, dont les deux premiers côtés sont a' et 6' et forment un angle égal à 90° — 6; on est ainsi conduit à la construction suivante. Traçons deux lignes A'A, BB' faisant entre elles Tangle donné 6 (fig. 94) et qui se coupent en 0; prenons 0A=OA'=a', 0B=0B'=6'; abaissons BP perpendiculaire sur AA' et prenons, sur cette ligne, BC = BD = a'; joignons OC

fvii

fig. 94.

et OD; enfin, du point 0 comme centre et d'un rayon égal à OD, décrivons une circonférence qui coupe OC aux points E et F. Je dis que CF et CE seront les axes de Tellipse demandée, qu'on pourra, dès lors, construire par points, ainsi qu'on l'a indiqué (n°' 130, 131) ; en effet, les angles CBO et DBO sont évidemment 90^ + 6 et 90° — 0; donc les triangles CBO et DBO donnent :

CO=v^a'*+6"+2a'6'sine et DO = s/a'^+ô'*— 2a'6' sine ,

ou

on a ensuite

C0=a+6, DO=a— 6;

CF = C0 + D0=:2a et CE = CO— DO = 26.

Autre manière de présenter quelqtLes-um des résultats

qui précèdent.