Soit une ellipse (fig. 95) rapportée à ses axes et

ayant pour équation .

(1) ay + 6«a;^=a*6*.

SoientOMetOM'deux diamètres conjugués quelt F conques ; désignons par x' et y" les coordonnées de l'un des points M, où Tun des diamètres rencontre la courbe ; on peut évidenmient, sans altérer la généralité, supposer que x' et y' soient positives. Cela posé, Téquation du diamètre CM sera :

réquatîon du diamètre conjugué CM' sera :

Les points d'intersection de ce second diamètre avec la courbe

auront pour coordonnées zh -^ et di — ; en particulier, si M'

est celui de ces deux points dont l'ordonnée est positive^ on aura, en désignant par j? et y ses coordonnées^

. » av' bx'

on déduit de là , en premier lieu ,

En ajoutant y il vient :

ou, en désignant par à et 6' les demi-longueurs OM et OM' des diamètres conjugués ,

(3) a'' + b'^ = a^ + b\ On déduit encore des équations (2) :

xy=^x'y'y

ce qui prouve que les triangles MOP, M'OP' sont équivalents et que leur somme est égale à x'y'. Mais le triangle MOM', qui

est la huitième partie du parallélogramme construit sur les diamètres conjugués^ est égal au trapèze MMTT diminué des deux triangles MOP, M'OF; on aura donc, en désignant par P Taire de ce parallélogramme ,

8P=2(y+»')(^-^)-^J/'=2(— + -| d'où

on retrouve ainsi, de la manière la plus simple, les deux

théorèmes du n° 155.

Menons par le point M (fig. 95) la tangente à l'ellipse;

soient S et T les points où cette tangente coupe les axes; les triangles MTP et M'FO étant semblables, leurs surfaces sont entre elles comme les carrés des côtés homologues MT et M'O; on a donc :

MT MTP MTP

M'O M'P'O MPO

Mais les triangles MTP et MPO, qui ont même hauteur, sont entre eux comme leurs bases; donc :