MT SM

d'où

M'0- = MSxMT.

Celte égalité exprime le théorème suivant : le produit des segments d'une tangente à V ellipse , compris entre le point de contact et les deux axes, est égal au carré du demi-diamètre parallèle.

Prolongeons OM d'une quantité ML= ^rr=rî ^® cercle décrit sur ST, comme diamètre, passera évidemment par le point 0 et par le point L. Or ce cercle peut être construit, si Ton connaît seulement les diamètres conjugués OM et OM' de grandeur et de position ; en effet , le centre du cercle , dont il s'agit 9 est sur la perpendiculaire menée à OL par son milieu, et il est aussi sur la ligne ST qui est connue, puisque cette ligne est parallèle à OM'^ de plus, le cercle passe par le point 0. Ce cercle une fois construit, on connaîtra les points S et T, où il coupe la ligne ST et, par suite, on aura les directions des axes OS et OT de Tellipse dont on ne connaissait que les diamètres conjugués OM et OM'.

Nous allons montrer maintenant comment on peut trouver les grandeurs de ces axes. Menons , par le point M , la droite KH perpendiculaire à ST, et soient K et H les points où elle rencontre le cercle décrit sur ST comme diamètre ; on aura :

MH =:MK =MSXMT = M'0 ;

donc

MH = MK = MO.

Gela posé, les triangles KOM et HOM donnent , en désignant par 6 l'angle MOM' :

OK =0M +0M' +20MxOM'sine,

OH =0M +0M' — 20M X OM' sin Q ;

OM + OM' = a» + 6% OMxOM'sine = ab ;

donc

OK =(a + 6)* et OH =z{a — b)\

d'où

OK = a+b et

2a = 0K + 0H et

OH==a — 6,