Soit CMN une portion d'une courbe rapportée à deux
axes rectilignes Ox et Oy, faisant entre eux un angle quelconque e (fig. 96) ; soit CM un arc de cette courbe, situé tout entier d'un même côté de l'axe des X. Nous considérerons le point C conmie fixe, et le ^ point M conmie mobile sur la courbe, en sorte que Tordonlig. 96. née y de ce dernier sera une
fonction de Tabscisse x définie par Téquation même de la courbe. Gela posé, si Ton mène les ordonnées CD et MP, l'aire du trapèze curviligne CDPM sera une nouvelle fonction de Tabscisse x ; nous nous proposons de trouver la dérivée de cette aire. Supposons que le point M se déplace sur la courbe et vienne occuper la position N dont nous désignerons les coordonnées par a? + ^ ^^ 2/ + ^^ \^\x^ CDPM, que nous représenterons par ti, prendra un accroissement a représenté sur la figure par MPQN, et la dérivée w' de u sera égale à la
limite vers laquelle tend le rapport - quand h tend vers zéro.
Or on peut supposer le point N assez près de M, pour que l'ordonnée de la courbe soit constanmient décroissante ou constamment croissante de ar = OP à a:=OQ; alors, si Ton mène MH et NI parallèles à Oo:, il est évident que Taire a sera comprise entre les aires des parallélogrammes MPQH et IPQN, c'est-à-dire comprise entre t/^sinô et (i/-|-^)^sinô.
Le rapport - sera donc compris entre
t/sinO et t/sin64-^sin6.
Or à la limite, pour A = 0, on a aussi A:sinô = 0; donc * u'==ysin63
ce qui montre que la dérivée de Paire considérée est égale au produit de l'ordonnée mobile par le sinus de l'angle des axes.
Remarque. Dans le cas des axes rectangulaires, on a sin 6 = i et par suite :
Détermination de faire d'une courbe rapportée à dmx axes
rectilignes,
159. Supposons maintenant qu'il s'agisse d'évaluer Taire u (fig. 96) , dont il a été question au numéro précédent. Nous avons :
u'=t/sin6;
y est une fonction connue de l'abscisse x ; désignons-la par f{x) et supposons qu'on sache trouver une fonction F[x) ayant pour dérivée f{x)sm^; on aura alors w'=F'(ar). Les fonctions u et ¥(x) , ayant leurs dérivées égales, ne peuvent différer que par une constante; donc, en désignant par G cette constante, on aura :
11 s'agit maintenant de déterminer la constante : désignons .par a l'abscisse du point G ; Taire u doit être nulle pour xz=a; on a donc :
0=F(a) + G d'où G=i~F(fl),
et par suite
Remarque. Gette méthode générale est susceptible de simplifications dans certains cas particuliers ; on en verra des exemples dans les applications que nous en ferons.
Aire de V ellipse,
160. Gonsidérons une ellipse, dont le grand axe AA' = 2fl et le petit axe BB'=26 (fig. 97 ); et proposons-nous d'abord d'évaluer Taire GDMP comprise entre Tare GM, le grand
axe A'A et les ordonnées CD, PM, perpendiculaires au grand
axe. Prolongeons les ordonnées CD, MP jusqu'à leur reii- C'i contre en C^, Mj avec la cir-
conférence décrite sur A'A coinme diamètre. Si Ton considère le point D comme fixe ^ ellèpoint P cpmmç variable, qa^çn dénote par y et y^ les ordonnées MP, M^P de Tellip^se et du cercle , par i^ et u^ les aires GMPD, C^M^PD^
on aura:
mais yj = -y, donc
Les fonctions u et - u^ ont même dérivée, donc elles ne pett-
vent différer que par une constante 5 mais il est évident qu'elles ' deviennent nulles en même temps; par conséquent la constante est nulle et Ton a ;
u=-.ti.
Ce. qui niontre queles aires de l'ellipse et du cercle, comprises entre les mêmes ordonnées, sont entre elles dans le rapport du petit axe au grand. La géométrie élémentaire enseigné à calculer u^, et l'on en déduit immédiatement u. Si Von suppose que les points D et P soient confondus l'un
!ttO GÉOMËTRIE ANALTriQUE A DEUX DIMENSIONS.
WBb A\ lIÂIIfe wetA, n te réduit à la «feml-èUipse etu^ au demi-oorde ou x^a^^ on adonc, en désignant par Ë Taire Mate ite relitpse :
ftemitile tpA fàtt ôotmaUfë faire de l'ellipse entière, en fonotkm deb longueurs de ses «tes.
toi. 8u(3>0SOûB maintenant qu'on veuille obtenir Taire d'un aagmttûiqueltonqiioCAC' d'une ellipse (iig. 98).
RappôTiO))^ ^ couii)6 à deux dhtïnM;i?es «cfttjûgictéK , dont l'un soit parallèle à la corde CC. Désignons par Ita' tel 5b* tes longueurs de ces diamètres> et par 6 l'angle qu'ils font entre eux. Menons Tordonnée MP d'un point quelconque M et cherchons d'abord l'aire du trapèze curvilieneCDPM. Décrivons une dttsènfêrence d^un rayon tt (fig. 99) ; menons deux diamètres Waûtenguiaîres A\k^,'&fi^', prenons O^Di^OD^OiPi—OP, et taenons enfin le$ ordorwo^ DjC^, P^Mi perpendiculaires à A'^A^, Si l*dn désigne p» a? dbâcune des abscisses égales Hff^i^i ^ pat y €ft î^i les ortefthife^ MP et Mi^^ , par w^t Ui
m vmAÀvm. tu
lès tàm GDPlf»G,D^P|Mi^ imfln ptr W ti u\ k» dérivée dé ùÊê airM) oOniidéréM oomfM fonottoni de fl^} on fturt f
mais on a :
y^=^a'*—x*, »=7V«'*— «' = j^yi;
donc
