U == -: SI
7 sin e X u\ :
les fonctions u et -7 sin 6 x u. ont même dérivée; d'ailleurA
elles s'annulent en même temps ; donc elles sont égales ; on a par suite :
u = -sitlÔXU4; a
l'aire circulais ii| étant connue, on connaîtra aussi Ture d'ellipse u. Si maintenant on suppose que le point M se capproche indéfiniment du pmni A , le pomt M^ se rapprochera en même temps du point A^ , et Ton aura :
CDA = -7sinexC,DjA4;
on a pareillement:
donc
b' CDA = ^ sin e X C\D^Aj ;
ri
segitMitCAC ss^sinOxsegmentCfAïC/.
Lorsque le point C vient à coïncider avec A'# le point. Ç^
212 ». GËOMËtlUE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS.
avec A!^j le segment d'ellipse devient l'ellipse entière, le segment de cercle , le cercle entier^ on a donc^ en désignant par E Taire de Tellipse, et observant que celle du cercle est ica'* :
E = -7 sinexwa'*=ica'6' sine ;
QT) en désignant par Sa et 26 les axes de Tellipse , on a ab = a'6'siQO ; oti retrouve clone la formule déjà obtenue :
E = ttab.
QuesticM résolues.
162. Question I. Démontrer que le produit des distances des foyers à une tangente est constant et égal au carré du demi petit axe.
Soient p et p' les distances des foyers F et F de Téllipse
à une tangente
les axes de f ellipse étant pris pour axes de coordonnées. Les coordonnées du foyer F sont î^ = 0, x = c= y/a* — 6*; celles du foyer F sont y=0, x= — c= — s/a^ — 6*; on a donc, par les formules connues',
me + s/a^m^ + b- , —mc^ \/a^m* + 6* p = -===r p = , , ^
d'où Ton tire:
[ 163. QuBsnoN H. Démontrer que la projection de la nor^ mole, en un point de t ellipse ^ eur Pun des deux rayons vecteurs est constante.
réquation d'une ellipse rapportée à ses axes. Soient MN=N
la longueur de la normale au point M [x, y) (fig. ÎOO) et MQ l'ordonnée. L'équation de MN est
pour Y=0, on a:
flg.
Cette valeur fie X — x est précisément la sous-normale NQ ; on a d'ailleurs
donc
N' = NQ +y\
xi« a^y*-\-b^x^ ^ Kj ^ /.>,,.,
Remplaçant ah/ par o'6* — h^x* et faisant , comme à l'ordinaire« c^^a"^ — 6* , il vient :
2U GÉOMÉTRIE ANALYTlOllB A DEUX DIMENSIONS.
OU , en désignant par r et r' lis Fiyons vecteurs qui aboutissent aux foyers F et F' ,
expression j'emarquable de la longueur de la normale.
Abolissons, des foyers F et F' , FP et FT' perpendiculaires 3ur la tftQgepte en M : et désignons par ^ l'anglQ que Ifi no^ rnale fait 4véc l'un ou l'autre des deux rayons vecteurs; les tri9ng% ]rectiM[^)es FMP, F'MF donnent :
FP , FP' ^» ^ . FPXFF CO87' CôSï cos^Y
Mw» OR II vu (n* 162) qve FPxFP':^6'; donc
n'^^ et N =
cos'Y aco9Y
Cette demièra équatiop donne :
piçoçï==-,
ce qui démontre le théorème énoncé.
164. Question m. Trwxver h lien âe$ sommets des angles droits circonscrits â une ellipse donnée.
Première soiution. Rapportons Tellipse donnée à ses axes^ et soit
son équation. Nous avons vu (n* 142) que^ si m est une quantité donnée , l'équation
(2) y = mx +Vâ*m* + **>
représente les deux teogeates qui ont m pour coefficWnt mgulaire , en prenant le radical successivement avec le sign^ 4et avec le signe ^. Mais^ si a? et y désignent les coordonnées d'un point donné et que m soit considéi^ée comme une indétenninée , la même équation fera connaître les coefficients angulaires m des tangentes menées à l'ellipse par le point {x,y). En faisant disparaître le radical de l'équation (2) , et ordonnant par rapport à m, elle devient :
Si le point {itj y] appartient au lieu demandé ^ le (UH)diiii des racines de Véquation précédente s0ra — 1 ^ et réciproquement. On a donc, dans cette hypothèse,
L— =4 ou y^^x'^Q^ + b\
Le lieu demandé est donc la circonférence^ circonscrite au rectangle construit sur les axes de Tellipse. Seconde solution. Les tangentes à l'ellipse ,
qui ont m pour coefficient angulaire , sont toutes deux représentées par réquation :
(1) y = mx + v^a%* + 6% ou'
(2) [x^ — a*)m* — ixym + (j/* — 6«) ^ 0,
Si l'on change m en et que Ton multiplie ensuite Véquation par m*, il vient :
(31 (oî*— a^)4-2a?î/m7[-(y'— 6')m*==:0; .
réqnation obtenue, en ajoutant les équations (2) et (3), appartiendra à un lieu qui passera par les quatre points où les droites (2) coupent les ckoites (3) ; or, cette équation est
ou
Elle ne contient pas la variable m, elle représente donc le lieu demandé.
165. Question IV. Trouver le lieu éPun paitU quelconque lié invariablement à une ellipse donnée y qui 9e meiit en restant tangente û deux droites rectangulaires données.
Soient YT e^ X'X les deux droites rectangulaires données; 2a et 26 les longueurs des axes de Tellipse donnée^-^a et p les coordonnées d'un point du plan de l'ellipse^ par rapport aux axes de cette courbe. Ck)nsidérons Tellipse mobile dans une quelconque de ses positions ^ et rapportons tout à ses axes; réquation de la courbe sera
celles des deux droites données seront :
Les distances du point (a, p) à ces deux droites seront : d'ailleurs ces distances ne sont autre chose que les coordon-
nées du même points relativement aux droites données prises pour axes; on peut donc écrire :
P— ma— v/a*iyi*+6* mp + a— y/a' + mV
En éliminant m entre ces équations,, on aura une nourale équation qui exprimera une relation constante entre les coordonnées d'un point quelc^onque du lieu; cette équation sera donc celle du lieu demandé.
En particulier^ si Ton veut le lieu décrit par le centre de Fellipse mobile , il faut faire a = 0 , p = 0 , et il vient :
sla^m^ + 6* i/a* + m'6*
Télimination de m se fait immédiatement, en élevant au c^né les équations précédentes et ajoutant ensuite; il vient ainsi :
équation d'un cercle dont le rayon est \/a* -f 6*. Ce dernier résultat pleut immédiatement se déduire dé la solution de la question in. ^ '
166. Question V. Trouver le lieu des pieds desperpendi^ culairesy cibùissées d'un point quelconque dt^ plan d'une ellipse sur les tangentes de cette courbe.
Soient
réquation de Tellipse. rapportée à ses axes^ et a, ^ les coordonnées du point donné. Les équations d'une tangente et de la perpendiculaire à cette tangente^ menée par le point donné,
seront :
y = mx + \fà^rn^ + 6*,
Len^aleurs de x et de y y qui satisfont à ces deux, ^uations, sont les coordonnées d'un point du lieu demandé; on aura donc l'équation de ce lieu , si Ton élimine m entre les deax précédentes. De la première , on tire :
(a^ ^ à*)m* — aryw + y* -- 6* == 0, et de la seconde :
Le résultat de Télimination est donc :
(^t^a«)(a:-a)« + 2ary(a?-a)(y-p) + (y«-5«)(y p)»=0.
Cette équation est, du quatrième degré, et Ton voit qu'elle est satisfaite en faisant a; =£ a, y = p ^ d'où il suit que le lieu demandé passe par le point donné. Ce résultat est évident i priori y dans le cas où le point donné est extérieur à Tellipsè. Mais il semblerait que le contraire dût avoir lieu^ quand le point donné est intérieur à l'ellipse , puisque les tangentes de cette courbe n'ont aucun point dans son intérieur. Il est aisé d'expliquer cette GÎroonstance; effectivement, un même lieu géométrique peut être défini par diverses propriétés conduisant toutes à la ïoèaie équation; or il peut arriver que la propriété, par laquelle le lieu a été primitivement défini, soit sujette à des limitations, à des restrictions dont l'analyse ne tient aucun compte et dont^ par suite, Téquation est complètement dé-
barrassée. En résumé^ et ceci est de la plus haute importance^ réquation d'un lieu^ défini par une propriété géométrique, peut comprendre une infinité de points qui n'oint pas la propriété par laquelle le lieu a été défini,
Dan.is r^x^mple que nous traitons et quqji^ous avâtis choisi pour avoir Toccasion de présenter les remarques qui pré* cèdent^ le lieu qu'il s'agit de trouver peut être défini par une autre prc^riété géométrique. "En partant du nouvel énoncé auquel cette deuxième propriété conduit^ on reconnaît immédiateniènt que le lieu demandé doit passer par le point donné. Voici, ceténoncé : Oh mène une tangente à une ellipse donnée et on joint les traces de cette tangente sur les axes ifi Vellipse à un point donné; puis on décrit deux cercles qui (lient respectivement pour diamètres ces deux droites ; cela posé, on d^smande de, trouver le lieu décrit par les points f intersection des deux circonférences^ quand la tangente varie.
Si le point donné est Fun des foyers de Tellipse, on a 9.=.±e, p = 0. Dans ce cas^ il est aisé de voir que le premier membre de Téquation du lieu est divisible par (a?d: (?)• 4" y* ) supprimant alors ce facteur qui, égalé à zéro, ne donnerait que le foyer^ réquation se réduit au second degré. Maid, dans tout autre cas, Téquation que nous avons obienue est irréductible. Dans- le cas particulier, dont il vient d*étre question^ le calcut peut être dirigé de manière à âe pas introduire le facteur qu'on doit supprimer' ensuite de Péquafion finale; en eflét, dans ce cas, les équaUoQS entre lesquelles il feut élbniner m, sont :
(y — mxf ^ aW + *S en ajoutant il vient :
On retrouve ainsi un résultat déjà obtenu au n* 139.
167. Question VI. Trouver le triangle maximum inscrit dans une ^lUpse ^pnnée.
Soit ABC (fig. loi) le triangle maximum inscrit dans l'ellipse dont les axes sont 2a et 26. La tangente à Tellipse au point A
est évidemment pai^Uèle au côté opposé BC ; car, s'il en était autrement^ il y aurait un point dé l'ellipse plus éloigné que A de .BC;. par conséquent le triangle ABC ne serait pas le maximum.
. H s'ensuit que la droite qui joint flg. 101. le sommet A au milieu du côté
opposé BC est le diamètre de l'ellipse conjugué de BC. Pour la même raison^ les lignes qui joignent les sommets B et C aux milieux des côtés AC^ AB sont des diamètres. U en résulte que le centre de gravité du triangle ABC doit être le centre même de Tellipse. Pour construire un pareil triangle , il suffit évidemment de mener un diamètre quelconque AA', de mener ensuite la corde BC conjuguée' de AA' par le milieu D du demi-diamètre OA' ; enfin de joindre AB et AC. Nous allons démontrer que tous les triangles ainsi formés sont équivalents ; en sorte que chacun d'eux pourra être pris pour le triangle maximum. Soit ABC l'un des triangles formés comme il vient d'être dit ; nous prendrons pour axe des x le diamètre parallèle à BC et pour axe des y le diamètre AA'. En désignant par 2a' et %' les longueurs de ces diamètres conjugués ; par 6 leur angle , l'équation de l'ellipse sera :
D£ L'ELUPSE. 221
celle de la cord9 BG sera : • .
par conséquent l'abscisse positive du point C^ où la corde BC coupe Fellipse, sera -^ V^ et l'on aura BC = a' y^-, on a
d'ailleurs AD == - 6' et surf ABC = - AD X BC X sin 6 : donc
ABC = 7 aVsin e X v^,
OU- ABC =706 v^a!
Ce qui démontre le résultat annoncé.
Questions d résoudre.
I. Trouver le lieu des projections du centre d^une ellipse sur les cordes qui sont vues du centre sous un angle droit.
n. Trouver le lieu des sommets des angles circonscrits à une ellipse et dont les côtés sont parallèles à deux diamètres conjugués.
III. Par un point M d'une ellipse on mène une tangente, qui coupe aux points G et G' les tangentes menées par les extrémités A et A' du grand axe; et on demande de démontrer que : i« le produit AGxA'G' est constant et égal au carré du demi-petit axe ; â"" la droite GG' est vue sous un angle droit de chacun des foyers.
